Seja
.
Definamos:
I)
por
.
II)
por
.
Provar que,
(g)
é l.i…
Definamos:
I)
II)
Provar que,
(g)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
é linearmente independente em com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar. Para isso, vamos aplicar a definição de independência linear: só existe combinação linear trivial que dê a função zero.
Passo 2
Escrevemos uma combinação linear genérica de
e
:
onde
representa a função nula em
. Nosso objetivo é mostrar que
e
.
Passo 3
Aplica-se a igualdade a pontos estratégicos em que
e
assumem valores simples. Primeiro, seja
. Então
Logo
.
Passo 4
Agora que
, a combinação fica
para todo
. Escolhemos
, em que
, de modo que
Resposta
Como os únicos escalares que satisfazem
para todo
são
e
, concluímos que
é linearmente independente.