Seja V=f: R longrightarrow R.
Definamos:
I) (f+g): R longrightarrow R por (f+g)(x)=f(x)+g(x), forall x in R.
II) (alpha f): R longrightarrow R por (alpha f)(x)=alpha f(x), forall x in R.
Provar que,
(g) S=sen x, cos x é l.i…

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto é linearmente independente em com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar. Para isso, vamos aplicar a definição de independência linear: só existe combinação linear trivial que dê a função zero.

Passo 2

Escrevemos uma combinação linear genérica de e :
onde representa a função nula em . Nosso objetivo é mostrar que e .

Passo 3

Aplica-se a igualdade a pontos estratégicos em que sen x e cos x assumem valores simples. Primeiro, seja x=0. Então
alpha,sen 0 + beta,cos 0 = alphacdot 0 + betacdot 1 = beta = 0
Logo beta=0.

Passo 4

Agora que beta=0, a combinação fica alpha,sen x=0 para todo x. Escolhemos x=tfracpi2, em que sen(tfracpi2)=1, de modo que
alphacdot 1 = alpha = 0

Resposta

Como os únicos escalares que satisfazem alpha,sen x+beta,cos x=0 para todo x são alpha=0 e beta=0, concluímos que S=sen x,cos x é linearmente independente.

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