Seja
.
Definamos:
I)
por
.
II)
por
.
Provar que,
(l) O subconjunto de todas as funções polinomiais a coeficientes reais de grau 4 não constitui um subespaço vetorial de
.
Definamos:
I)
II)
Provar que,
(l) O subconjunto de todas as funções polinomiais a coeficientes reais de grau 4 não constitui um subespaço vetorial de
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
com adição e multiplicação por escalar ponto a ponto, e pede para mostrar que o subconjunto
com adição e multiplicação por escalar ponto a ponto, e pede para mostrar que o subconjunto
não é subespaço de
.
Para isso vamos usar a definição de subespaço: um subconjunto deve conter o vetor zero de e ser fechado sob soma e multiplicação por escalares.
Para isso vamos usar a definição de subespaço: um subconjunto deve conter o vetor zero de
Passo 2
Lembrando a definição: um subconjunto
é subespaço se, e somente se,
- o elemento neutro aditivo de
(ou seja, a função zero) pertence a , - para quaisquer
vale , - para qualquer
e qualquer vale .
Passo 3
Observação central: o elemento neutro aditivo de
é a função zero definida por
Esse é o polinômio nulo, cujo grau não é
(geralmente dizemos
ou simplesmente “não é grau
”). Logo
Como
não contém a função zero, já falha o item 1 da definição de subespaço.
Resposta
O conjunto das funções polinomiais de grau exatamente
não contém o vetor zero de
, portanto não é subespaço vetorial de
.