Seja V=f: R longrightarrow R.
Definamos:
I) (f+g): R longrightarrow R por (f+g)(x)=f(x)+g(x), forall x in R.
II) (alpha f): R longrightarrow R por (alpha f)(x)=alpha f(x), forall x in R.
Provar que,
(l) O subconjunto de todas as funções polinomiais a coeficientes reais de grau 4 não constitui um subespaço vetorial de V.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial
,V=f:RtoR
com adição e multiplicação por escalar ponto a ponto, e pede para mostrar que o subconjunto
W=polinômios reais de grau 4 ô
não é subespaço de V.
Para isso vamos usar a definição de subespaço: um subconjunto deve conter o vetor zero de V e ser fechado sob soma e multiplicação por escalares.

Passo 2

Lembrando a definição: um subconjunto Wsubset V é subespaço se, e somente se,
  1. o elemento neutro aditivo de V (ou seja, a função zero) pertence a W,
  2. para quaisquer f,gin W vale f+gin W,
  3. para qualquer fin W e qualquer alphainR vale alpha fin W.

Passo 3

Observação central: o elemento neutro aditivo de V é a função zero definida por
0(x)=0forall xinR
Esse é o polinômio nulo, cujo grau não é 4 (geralmente dizemos deg(0)=-infty ou simplesmente “não é grau 4”). Logo
0notin W
Como W não contém a função zero, já falha o item 1 da definição de subespaço.

Resposta

O conjunto das funções polinomiais de grau exatamente 4 não contém o vetor zero de V, portanto não é subespaço vetorial de V.

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