Seja V=f: R longrightarrow R.
Definamos:
I) (f+g): R longrightarrow R por (f+g)(x)=f(x)+g(x), forall x in R.
II) (alpha f): R longrightarrow R por (alpha f)(x)=alpha f(x), forall x in R.
Provar que,
(i) S=e^x, e^2 x é l.i…

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V de todas as funções reais e pede para mostrar que o conjunto
S = e^x,,e^2x
é linearmente independente. Para isso vamos usar a definição de independência linear: uma combinação linear que dá a função zero identicamente só admite solução trivial (coeficientes todos nulos).

Passo 2

Suponha que existam escalares alpha,betainR tais que, para todo xinR,
alpha,e^x+beta,e^2x=0
(aqui 0 é a função que vale 0 para todo x). Nosso objetivo é mostrar que alpha=0 e beta=0.

Passo 3

Avaliamo-os em dois valores distintos de x.
Em x=0:
alpha,e^0+beta,e^0=0 Longrightarrow alpha+beta=0
Em x=1:
alpha,e^1+beta,e^2=0 Longrightarrow alpha,e+beta,e^2=0

Passo 4

Da primeira equação temos beta=-alpha. Substituindo em alpha,e+beta,e^2=0 resulta
alpha,e +(-alpha),e^2 =alphal(e - e^2r)=0
Como e-e^2=e(1-e)neq0, segue alpha=0. Logo beta=-alpha=0. Isso mostra que a única combinação linear que anula e^x e e^2x é a trivial.

Resposta

O conjunto S=e^x,e^2x é linearmente independente.

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