Seja
.
Definamos:
I)
por
.
II)
por
.
Provar que,
(i)
é l.i…
Definamos:
I)
II)
Provar que,
(i)
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial
de todas as funções reais e pede para mostrar que o conjunto
é linearmente independente. Para isso vamos usar a definição de independência linear: uma combinação linear que dá a função zero identicamente só admite solução trivial (coeficientes todos nulos).
Passo 2
Suponha que existam escalares
tais que, para todo
,
(aqui
é a função que vale
para todo
). Nosso objetivo é mostrar que
e
.
Passo 3
Avaliamo-os em dois valores distintos de
.
Em :
Em
Em
:
Passo 4
Da primeira equação temos
. Substituindo em
resulta
Como
, segue
. Logo
. Isso mostra que a única combinação linear que anula
e
é a trivial.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente.