Seja V=f: R longrightarrow R.
Definamos:
I) (f+g): R longrightarrow R por (f+g)(x)=f(x)+g(x), forall x in R.
II) (alpha f): R longrightarrow R por (alpha f)(x)=alpha f(x), forall x in R.
Provar que,
(h) S=sen x, sen 2 x, sen 3 x é l.i…

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V das funções reais de variável real e pede para mostrar que o conjunto
S = senx,;sen2x,;sen3x
é linearmente independente. Para isso usaremos a definição: se uma combinação linear dessa família for a função nula, então todos os coeficientes devem ser zero.

Passo 2

Suponha que existam escalares a,b,cinR tais que, para todo xinR,
a,senx ;+; b,sen2x ;+; c,sen3x ;=; 0
Nosso objetivo é mostrar que a=b=c=0.

Passo 3

Escolhemos x=pi2. Então
senl(tfracpi2r)=1, senl(pir)=0, senl(tfrac3pi2r)=-1
Substituindo na combinação,
acdot1 ;+; bcdot0 ;+; ccdot(-1)=0 Longrightarrow a - c = 0 Longrightarrow c = a

Passo 4

Agora tomamos x=pi3. Temos
senl(tfracpi3r)=raiz32, senl(tfrac2pi3r)=raiz32, sen(pi)=0
Substituindo,
a,raiz32 ;+; b,raiz32 ;+; ccdot0 = 0 Longrightarrow raiz32(a+b)=0 Longrightarrow a + b = 0 Longrightarrow b = -a

Passo 5

Por fim, escolhemos x=pi6. Calculamos
senl(tfracpi6r)=tfrac12, senl(tfracpi3r)=tfracraiz32, senl(tfracpi2r)=1
A combinação vira
acdottfrac12 ;+; bcdottfracraiz32 ;+; ccdot1 = 0
Substituindo b=-a e c=a,
tfrac12,a ;+;tfracraiz32(-a) ;+; a = 0 ;Longrightarrow; l(tfrac12 - tfracraiz32 + 1r)a = 0 ;Longrightarrow; 3 - raiz32,a = 0
Como tfrac3-raiz32neq0, segue que a=0. Então b=-a=0 e c=a=0.

Resposta

O único modo de
a,senx + b,sen2x + c,sen3x = 0
ser a função nula é ter a=b=c=0. Logo S é linearmente independente.

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