Seja
.
Definamos:
I)
por
.
II)
por
.
Provar que,
(h)
é l.i…
Definamos:
I)
II)
Provar que,
(h)
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
das funções reais de variável real e pede para mostrar que o conjunto
é linearmente independente. Para isso usaremos a definição: se uma combinação linear dessa família for a função nula, então todos os coeficientes devem ser zero.
Passo 2
Suponha que existam escalares
tais que, para todo
,
Nosso objetivo é mostrar que
.
Passo 3
Escolhemos
. Então
Substituindo na combinação,
Passo 4
Agora tomamos
. Temos
Substituindo,
Passo 5
Por fim, escolhemos
. Calculamos
A combinação vira
Substituindo
e
,
Como
, segue que
. Então
e
.
Resposta
O único modo de
ser a função nula é ter
. Logo
é linearmente independente.