Seja V=f: R longrightarrow R.
Definamos:
I) (f+g): R longrightarrow R por (f+g)(x)=f(x)+g(x), forall x in R.
II) (alpha f): R longrightarrow R por (alpha f)(x)=alpha f(x), forall x in R.
Provar que,
(n) S=f0(x)=1, f1(x)=x, f2(x)=x^2, ldots, fn(x)=x^n, ldots é uma base para o subespaço de todas as funções polinomiais a coeficientes reais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
S = f0,f1,f2,dots, fn(x)=x^n,
é uma base do subespaço Psubset V formado por todos os polinômios de coeficientes reais.
Para isso precisamos provar duas coisas:
  1. Que S gera P (ou seja, span(S)=P).
  2. Que S é linearmente independente.

Passo 2

(Provar que S gera P).
Seja p(x)in P. Por definição existe um NinN e coeficientes a0,a1,dots,aNinR tais que
p(x)=a0+a1x+cdots+aNx^N
Mas fk(x)=x^k. Logo
p(x)=a0f0(x)+a1f1(x)+cdots+aNfN(x),
ou seja, p é combinação linear de vetores em S. Concluímos que span(S)=P.

Passo 3

(Provar que S é linearmente independente).
Suponha que exista uma combinação finita
alpha0f0(x)+alpha1f1(x)+cdots+alphaMfM(x)=0 forall xinR,
isto é,
alpha0+alpha1x+cdots+alphaMx^M=0 forall x
Mas um polinômio que é identicamente zero tem todos os coeficientes nulos. Logo
alpha0=alpha1=cdots=alphaM=0
Isso mostra a independência linear de S.

Resposta

S é gerador de P e é linearmente independente, logo é base de P.

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