Seja
.
Definamos:
I)
por
.
II)
por
.
Provar que,
(n)
é uma base para o subespaço de todas as funções polinomiais a coeficientes reais.
Definamos:
I)
II)
Provar que,
(n)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é uma base do subespaço
formado por todos os polinômios de coeficientes reais.
Para isso precisamos provar duas coisas:
Para isso precisamos provar duas coisas:
- Que
gera (ou seja, ). - Que
é linearmente independente.
Passo 2
(Provar que
gera
).
Seja . Por definição existe um
e coeficientes
tais que
Seja
Mas
. Logo
ou seja,
é combinação linear de vetores em
. Concluímos que
.
Passo 3
(Provar que
é linearmente independente).
Suponha que exista uma combinação finita
Suponha que exista uma combinação finita
isto é,
Mas um polinômio que é identicamente zero tem todos os coeficientes nulos. Logo
Isso mostra a independência linear de
.