Seja V=f: R longrightarrow R.
Definamos:
I) (f+g): R longrightarrow R por (f+g)(x)=f(x)+g(x), forall x in R.
II) (alpha f): R longrightarrow R por (alpha f)(x)=alpha f(x), forall x in R.
Provar que,
(j) O subespaço de todas as funções polinomiais a coeficientes reais não é finitamente gerado.

Passo 1

O enunciado define V como o espaço vetorial de todas as funções RtoR com adição e multiplicação por escalar pontuais. O subespaço Wsubset V é o conjunto de todas as funções polinomiais de coeficientes reais. Precisamos mostrar que não existe um conjunto finito de geradores de W, ou seja, que W não é finitamente gerado.

Passo 2

Suponha, para chegar a uma contradição, que exista um conjunto finito
S = p1,p2,dots,pksubset W
que gera W. Cada pi é um polinômio e tem um grau deg(pi)=di. Definimos
N = maxd1,d2,dots,dk

Passo 3

Qualquer combinação linear dos pi é da forma
q(x) = alpha1,p1(x) + alpha2,p2(x) + cdots + alphak,pk(x)
Pelo fato de que o grau de soma de polinômios não ultrapassa o maior grau dos termos (e eventuais cancelamentos só diminuem o grau), temos
deg(q)<= N
Assim todo polinômio no subespaço gerado por S tem grau menor ou igual a N.

Passo 4

Considere agora o polinômio
r(x) = x^N+1
Ele pertence a W mas satisfaz deg(r)=N+1>N. Logo não pode ser expresso como combinação linear dos pi, pois todo elemento de span(S) tem grau <= N. Isso contradiz a hipótese de que S gera W.

Resposta

O subespaço das funções polinomiais de coeficientes reais não é finitamente gerado.

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