Seja
.
Definamos:
I)
por
.
II)
por
.
Provar que,
(j) O subespaço de todas as funções polinomiais a coeficientes reais não é finitamente gerado.
Definamos:
I)
II)
Provar que,
(j) O subespaço de todas as funções polinomiais a coeficientes reais não é finitamente gerado.
Passo 1
O enunciado define
como o espaço vetorial de todas as funções
com adição e multiplicação por escalar pontuais. O subespaço
é o conjunto de todas as funções polinomiais de coeficientes reais. Precisamos mostrar que não existe um conjunto finito de geradores de
, ou seja, que
não é finitamente gerado.
Passo 2
Suponha, para chegar a uma contradição, que exista um conjunto finito
que gera
. Cada
é um polinômio e tem um grau
. Definimos
Passo 3
Qualquer combinação linear dos
é da forma
Pelo fato de que o grau de soma de polinômios não ultrapassa o maior grau dos termos (e eventuais cancelamentos só diminuem o grau), temos
Assim todo polinômio no subespaço gerado por
tem grau menor ou igual a
.
Passo 4
Considere agora o polinômio
Ele pertence a
mas satisfaz
. Logo não pode ser expresso como combinação linear dos
, pois todo elemento de
tem grau
. Isso contradiz a hipótese de que
gera
.
Resposta
O subespaço das funções polinomiais de coeficientes reais não é finitamente gerado.