Seja V=f: R longrightarrow R.
Definamos:
I) (f+g): R longrightarrow R por (f+g)(x)=f(x)+g(x), forall x in R.
II) (alpha f): R longrightarrow R por (alpha f)(x)=alpha f(x), forall x in R.
Provar que,
(m) O subconjunto de todas as funções polinomiais contitui um subespaço vetorial de V.

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial
V = f: RtoR
com a soma e multiplicação por escalar definidas ponto a ponto, e pede para mostrar que o conjunto
P = ,fin V mid f(x) é um polinômio em x éô
é um subespaço de V.
Para isso, usamos o critério de subespaço: devemos verificar que
  1. Pneqvarnothing (temos o vetor nulo em P),
  2. P é fechado sob soma,
  3. P é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que P não é vazio exibindo a função zero, que é polinômio. Definimos
0V:RtoR, 0V(x)=0
Como 0V(x) pode ser escrito como o polinômio de grau zero
0V(x)=0,
segue que 0Vin P. Logo, Pneqvarnothing.

Passo 3

Fechamento sob soma. Sejam f,gin P. Então existem inteiros n,m>=0 e coeficientes aii=0^n, bjj=0^m tais que
f(x)=sumi=0^n ai x^i, g(x)=sumj=0^m bj x^j
Definindo k=maxn,m e completando coeficientes com zeros quando necessário, podemos escrever
(f+g)(x) =sumi=0^k (ai+bi),x^i
Como ai+bi são reais e só há um número finito de termos, (f+g)(x) é um polinômio. Portanto f+gin P.

Passo 4

Fechamento sob escalar. Seja alphainR e fin P com
f(x)=sumi=0^n ai x^i
Então
(alpha f)(x) =alpha,f(x) =sumi=0^n (alpha ai),x^i
Como alpha aisubsetR e o somatório é finito, alpha f é polinômio, logo alpha fin P.

Resposta

O conjunto de todas as funções polinomiais satisfaz as três condições do critério de subespaço (contém o zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar). Portanto, é subespaço vetorial de V.

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