Seja
.
Definamos:
I)
por
.
II)
por
.
Provar que,
(m) O subconjunto de todas as funções polinomiais contitui um subespaço vetorial de
.
Definamos:
I)
II)
Provar que,
(m) O subconjunto de todas as funções polinomiais contitui um subespaço vetorial de
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial
com a soma e multiplicação por escalar definidas ponto a ponto, e pede para mostrar que o conjunto
é um subespaço de
.
Para isso, usamos o critério de subespaço: devemos verificar que
Para isso, usamos o critério de subespaço: devemos verificar que
-
(temos o vetor nulo em ), -
é fechado sob soma, -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Mostramos que
não é vazio exibindo a função zero, que é polinômio. Definimos
Como
pode ser escrito como o polinômio de grau zero
segue que
. Logo,
.
Passo 3
Fechamento sob soma. Sejam
. Então existem inteiros
e coeficientes
,
tais que
Definindo
e completando coeficientes com zeros quando necessário, podemos escrever
Como
são reais e só há um número finito de termos,
é um polinômio. Portanto
.
Passo 4
Fechamento sob escalar. Seja
e
com
Então
Como
e o somatório é finito,
é polinômio, logo
.
Resposta
O conjunto de todas as funções polinomiais satisfaz as três condições do critério de subespaço (contém o zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar). Portanto, é subespaço vetorial de
.