Seja V=f: R longrightarrow R.
Definamos:
I) (f+g): R longrightarrow R por (f+g)(x)=f(x)+g(x), forall x in R.
II) (alpha f): R longrightarrow R por (alpha f)(x)=alpha f(x), forall x in R.
Provar que,
(k) O subconjunto de V constituído por todas as funções polinomiais a coeficientes reais de grau inferior ou igual 4 constitui um subespaço vetorial de V.

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial
V = f : RtoR
com soma e multiplicação escalar definidas ponto a ponto. Queremos mostrar que o subconjunto
W = l,p:RtoRmid p(x)=a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + a4 x^4,;aiinRr
é um subespaço de V. Para isso, vamos verificar (i) Wneqvarnothing, (ii) fechamento em soma e (iii) fechamento em multiplicação escalar.

Passo 2

Mostramos que W não é vazio exibindo o polinômio zero. Defina
0(x) = 0 + 0cdot x + 0cdot x^2 + 0cdot x^3 + 0cdot x^4
Como todos os coeficientes são reais e deg(0)<=4, segue que 0in W.

Passo 3

Fechamento em soma. Sejam
f(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + a4 x^4, g(x) = b0 + b1 x + b2 x^2 + b3 x^3 + b4 x^4
em W. Então, para todo xinR,
(f+g)(x) = f(x) + g(x) = (a0+b0) + (a1+b1)x + (a2+b2)x^2 + (a3+b3)x^3 + (a4+b4)x^4
Como ai+biinR e o grau de f+g também é no máximo 4, concluímos que f+gin W.

Passo 4

Fechamento em multiplicação escalar. Seja alphainR e f(x)=a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + a4 x^4 em W. Então
(alpha f)(x) = alpha,f(x) = (alpha a0) + (alpha a1)x + (alpha a2)x^2 + (alpha a3)x^3 + (alpha a4)x^4
Como alpha aiinR e o grau não ultrapassa 4, segue que alpha fin W.

Resposta

O conjunto W satisfaz 0in W, fechamento em soma e fechamento em multiplicação escalar. Portanto, W é um subespaço vetorial de V.

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