Seja
.
Definamos:
I)
por
.
II)
por
.
Provar que,
(k) O subconjunto de
constituído por todas as funções polinomiais a coeficientes reais de grau inferior ou igual 4 constitui um subespaço vetorial de
.
Definamos:
I)
II)
Provar que,
(k) O subconjunto de
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial
com soma e multiplicação escalar definidas ponto a ponto. Queremos mostrar que o subconjunto
é um subespaço de
. Para isso, vamos verificar (i)
, (ii) fechamento em soma e (iii) fechamento em multiplicação escalar.
Passo 2
Mostramos que
não é vazio exibindo o polinômio zero. Defina
Como todos os coeficientes são reais e
, segue que
.
Passo 3
Fechamento em soma. Sejam
em
. Então, para todo
,
Como
e o grau de
também é no máximo
, concluímos que
.
Passo 4
Fechamento em multiplicação escalar. Seja
e
em
. Então
Como
e o grau não ultrapassa
, segue que
.
Resposta
O conjunto
satisfaz
, fechamento em soma e fechamento em multiplicação escalar. Portanto,
é um subespaço vetorial de
.