Seja L: P3(R) P3(R) definida por L(a t^3+b t^2+c t+d)=(a-b) t^3+(c-d) t.
(b) O vetor 3 t^3+t pertence a Im(L) ?

Passo 1

O enunciado define o operador linear L:P3(R)toP3(R) por
Ll(a t^3+b t^2+c t+dr)=(a-b)t^3+(c-d)t
e pede para verificar se 3t^3+t pertence a Im(L). O conteúdo usado é linearidade e caracterização da imagem de um operador linear.

Passo 2

Para caracterizar Im(L), observe que um vetor genérico em Im(L) é
Ll(a t^3+b t^2+c t+dr)=(a-b)t^3+(c-d)t
Logo
Im(L)=alpha t^3+beta tmid alpha=a-b, beta=c-d, a,b,c,dinR=alpha t^3+beta tmid alpha,betainR

Passo 3

O polinômio 3t^3+t é da forma alpha t^3+beta t com alpha=3 e beta=1, ou seja, ambos reais. Basta então verificar que existem a,b,c,dinR tais que
a-b=3, c-d=1,
o que é sempre possível.

Passo 4

Por exemplo, escolhendo a=3, b=0, c=1, d=0, obtemos
Ll(3t^3+0cdot t^2+1cdot t+0r)=(3-0)t^3+(1-0)t=3t^3+t,
logo 3t^3+tinIm(L).

Resposta

Sim, 3t^3+t pertence a Im(L).

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