Suponha que o polinômio característico do operador linear
seja
. Responda justificando cada ítem
(d) O que podemos dizer sobre as dimensões dos auto-espaços de
?
(d) O que podemos dizer sobre as dimensões dos auto-espaços de
Passo 1
O enunciado dá o polinômio característico de
:
Estamos em teoria de autovalores e autovetores, mais precisamente na relação entre multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica (dimensão do autoespaço) de cada autovalor.
Passo 2
Dos fatores de
extraímos os autovalores e suas multiplicidades algébricas:
– com multiplicidade algébrica
.
– com
.
– com
.
– com
.
–
–
–
–
Passo 3
Um resultado padrão garante que, para cada autovalor
, a dimensão do autoespaço (multiplicidade geométrica) satisfaz
Em particular, se
então obrigatoriamente
, e se
o valor de
pode variar de
até
.
Passo 4
Aplicando esse fato a cada autovalor de
:
– Para :
implica
.
– Para :
implica
.
– Para :
implica
.
– Para :
implica
.
– Para
– Para
– Para
– Para
Resposta
dimensão do autoespaço de
:
.
dimensão do autoespaço de :
ou
.
dimensão do autoespaço de :
,
ou
.
dimensão do autoespaço de :
,
,
ou
.
dimensão do autoespaço de
dimensão do autoespaço de
dimensão do autoespaço de