Suponha que o polinômio característico do operador linear T seja p(x)=x(x+2)^2(x-2)^3(x-3)^4. Responda justificando cada ítem
(d) O que podemos dizer sobre as dimensões dos auto-espaços de T ?

Passo 1

O enunciado dá o polinômio característico de T:
p(x)=x(x+2)^2(x-2)^3(x-3)^4
Estamos em teoria de autovalores e autovetores, mais precisamente na relação entre multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica (dimensão do autoespaço) de cada autovalor.

Passo 2

Dos fatores de p(x) extraímos os autovalores e suas multiplicidades algébricas:
lambda1=0 com multiplicidade algébrica ma(0)=1.
lambda2=-2 com ma(-2)=2.
lambda3=2 com ma(2)=3.
lambda4=3 com ma(3)=4.

Passo 3

Um resultado padrão garante que, para cada autovalor lambda, a dimensão do autoespaço (multiplicidade geométrica) satisfaz
1 <= mg(lambda)<= ma(lambda)
Em particular, se ma(lambda)=1 então obrigatoriamente mg(lambda)=1, e se ma(lambda)>1 o valor de mg(lambda) pode variar de 1 até ma(lambda).

Passo 4

Aplicando esse fato a cada autovalor de T:
– Para lambda=0: ma(0)=1 implica mg(0)=1.
– Para lambda=-2: ma(-2)=2 implica 1 <= mg(-2)<= 2.
– Para lambda=2: ma(2)=3 implica 1 <= mg(2)<= 3.
– Para lambda=3: ma(3)=4 implica 1 <= mg(3)<= 4.

Resposta

dimensão do autoespaço de 0: 1.
dimensão do autoespaço de -2: 1 ou 2.
dimensão do autoespaço de 2: 1, 2 ou 3.
dimensão do autoespaço de 3: 1, 2, 3 ou 4.

Exercícios relacionados