Seja T: P2 P2 um operador linear tal que T(1)=1+t, T(t)=t+t^2, T(t^2)=1+t-2 t^2.
(d) T é um isomorfismo? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T: P2to P2 (polinômios de grau <=2) definido em relação à base canônica 1,t,t^2 por
T(1)=1+t, T(t)=t+t^2, T(t^2)=1+t-2t^2
A pergunta (d) é se T é um isomorfismo, ou seja, se é bijetivo. Num espaço vetorial de dimensão finita, basta verificar se a matriz de T na base canônica é invertível (determinante não nulo).

Passo 2

Vamos escrever a matriz de T na base 1,t,t^2. As colunas são as coordenadas de T(1), T(t) e T(t^2):
[T] = 1 & 0 & 1 1 & 1 & 1 0 & 1 & -2 ,
pois
,T(1)=1cdot1+1cdot t+0cdot t^2,
,T(t)=0cdot1+1cdot t+1cdot t^2,
,T(t^2)=1cdot1+1cdot t+(-2)cdot t^2.

Passo 3

Calculamos o determinante de [T]:
det([T]) = 1cdot1 & 11 & -2 -0cdot1 & 10 & -2 +1cdot1 & 10 & 1 = 1cdot(1cdot(-2)-1cdot1)+1cdot(1cdot1-1cdot0) = -3+1 = -2
Como det([T]) = -2 neq 0, a matriz é invertível.

Passo 4

Matriz invertível implica que T é bijetiva (kernel trivial e imagem todo P2). Logo, T é um isomorfismo.

Resposta

Sim. Como a matriz de T na base 1,t,t^2 tem determinante -2neq0, T é invertível e, portanto, um isomorfismo.

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