Seja um operador linear tal que .
(d) é um isomorfismo? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá um operador linear (polinômios de grau ) definido em relação à base canônica por
A pergunta (d) é se é um isomorfismo, ou seja, se é bijetivo. Num espaço vetorial de dimensão finita, basta verificar se a matriz de na base canônica é invertível (determinante não nulo).
Passo 2
Vamos escrever a matriz de na base . As colunas são as coordenadas de , e :
pois ,T(1)=1cdot1+1cdot t+0cdot t^2, ,T(t)=0cdot1+1cdot t+1cdot t^2, ,T(t^2)=1cdot1+1cdot t+(-2)cdot t^2.