Suponha que o polinômio característico do operador linear T seja p(x)=x(x+2)^2(x-2)^3(x-3)^4. Responda justificando cada ítem
(c) Quantos auto-espaços tem T ?

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio característico
p(x)=x(x+2)^2(x-2)^3(x-3)^4
de um operador linear T e pede quantos auto-espaços T possui. Para isso precisamos lembrar que cada valor próprio (autovalor) lambda de T gera um auto-espaço ker(T-lambda I), e o número de auto-espaços é igual ao número de valores próprios distintos.

Passo 2

Encontre os valores próprios resolvendo p(x)=0:
x=0, x+2=0implies x=-2, x-2=0implies x=2, x-3=0implies x=3
Logo os valores próprios são 0,,-2,,2,,3.

Passo 3

Por definição, para cada valor próprio distinto lambda existe um auto-espaço ker(T-lambda I). Como há exatamente quatro valores próprios distintos, há exatamente quatro auto-espaços.

Resposta

4 auto-espaços.

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