Seja L: P3(R) P3(R) definida por L(a t^3+b t^2+c t+d)=(a-b) t^3+(c-d) t.
(d) Determine uma base para Im(L) e dimIm(L).

Passo 1

O enunciado define o operador linear
Lcolon P3(R) to P3(R)
por
Ll(a t^3 + b t^2 + c t + dr) = (a - b),t^3 + (c - d),t
Pede-se uma base para Im(L) e sua dimensão.

Passo 2

Vamos caracterizar a imagem. Um polinômio p(t) está em Im(L) se, para certos a,b,c,dinR, vale
p(t) = (a - b),t^3 + (c - d),t
Se definirmos
alpha = a - b, beta = c - d,
vemos que
p(t) = alpha,t^3 + beta,t,
com alpha,beta variando livremente em R.

Passo 3

Isso mostra que
Im(L) = alpha,t^3 + beta,t mid alpha,betainR = Spant^3,,t
Como t^3 e t são linearmente independentes em P3(R), o conjunto t^3,,t é de fato uma base de Im(L).

Resposta

Uma base de Im(L) é
,t^3,;t
e
dimIm(L)=2.

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