Sejam S: R^2 R^2 dada por S(x, y)=(y, x) e T: R^2 R^2 dada por T(x, y)=(-x, y). Geometricamente, S e T produzem reflexões em relação às retas y=x e x=0 respectivamente. Determine:
(b) T^-1(x, y)

Passo 1

O enunciado pede a inversa da transformação linear
Tcolon R^2 to R^2, T(x,y)=(-x,y),
que geometricamente é a reflexão em relação à reta x=0. Para encontrar T^-1, vamos usar o fato de que a inversa satisfaz
Tl(T^-1(u,v)r)=(u,v)

Passo 2

Denotemos (u,v)=T(x,y). Então
(u,v)=(-x,y)
Estamos procurando (x,y) em função de (u,v).

Passo 3

Do sistema
u=-x, v=y,
vemos que
x=-u e y=v

Passo 4

Portanto, a inversa T^-1 é exatamente a mesma reflexão, ou seja,
T^-1(u,v)=(-u,v)

Resposta

T^-1(x,y)=(-x,y)

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