Sejam os vetores v1=(1,3), v2=(-1,4) e a matriz [T]B=[cc1 & 3 -2 & 5], onde B=v1, v2.
(c) Encontre T(x, y).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T: R^2to R^2 cuja matriz na base B=v1,v2, com v1=(1,3) e v2=(-1,4), é
[T]B=1&3-2&5,
e pede a fórmula de T(x,y) nas coordenadas canônicas. Para isso a gente vai:
  1. expressar (x,y) como combinação de v1,v2;
  2. aplicar T nessas coordenadas;
  3. voltar para a base canônica.

Passo 2

Escrevendo (x,y)=c1,v1+c2,v2 dá o sistema
c1 - c2 = x, 3c1 +4c2 = y
Resolvendo,
c1=4x+y7, c2=y-3x7

Passo 3

Na base B, T envia l(c1,c2r) em
alpha = c1+3c2, beta = -2c1+5c2
Substituindo c1 e c2,
alpha=-5x+4y7, beta=-23x+3y7

Passo 4

Agora voltamos à base canônica usando
T(x,y)=alpha,v1+beta,v2 =(alpha-beta,;3alpha+4beta)
Substituindo alpha e beta e simplificando, vem
T(x,y) =l(tfrac18x+y7,;tfrac-107x+24y7r)

Resposta

T(x,y)=l(18x+y7,;-107x+24y7r)

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