Sejam
e
e
um operador linear em
tal que
.
(d) A dimensão do núcleo de
pode ser 3?
(d) A dimensão do núcleo de
Passo 1
O enunciado diz que
é um operador linear cujo espaço imagem é
onde
,
e
. A pergunta é: pode ocorrer
? Para responder, vamos usar o Teorema do Posto-Nulidade (Rank–Nullity).
Passo 2
O Teorema do Posto-Nulidade afirma que, para um operador linear em
, vale
Se hipoteticamente
, então
ou seja,
. Isso significa que
seria a transformação nula e, portanto, todos os vetores
deveriam ser o vetor zero para gerar um espaço imagem trivial.
Passo 3
Mas
. Logo
não pode ser
; tem dimensão pelo menos 1. Há, portanto, uma contradição com a hipótese
.
Resposta
Não. É impossível ter
sob as condições dadas.