Sejam u1=(1,2,-1), u2=(a, 0,1) e u3=(1, b, c) e T um operador linear em R^3 tal que Im T=[u1, u2, u3].
(d) A dimensão do núcleo de T pode ser 3?

Passo 1

O enunciado diz que Tcolon R^3toR^3 é um operador linear cujo espaço imagem é
Im T = l[,u1,u2,u3r],
onde u1=(1,2,-1), u2=(a,0,1) e u3=(1,b,c). A pergunta é: pode ocorrer dimker T = 3? Para responder, vamos usar o Teorema do Posto-Nulidade (Rank–Nullity).

Passo 2

O Teorema do Posto-Nulidade afirma que, para um operador linear em R^3, vale
dimker T + dimIm T = 3
Se hipoteticamente dimker T = 3, então
dimIm T = 3 - dimker T = 3 - 3 = 0,
ou seja, Im T = 0. Isso significa que T seria a transformação nula e, portanto, todos os vetores u1,u2,u3 deveriam ser o vetor zero para gerar um espaço imagem trivial.

Passo 3

Mas u1=(1,2,-1)neq(0,0,0). Logo l[u1,u2,u3r] não pode ser 0; tem dimensão pelo menos 1. Há, portanto, uma contradição com a hipótese dimker T=3.

Resposta

Não. É impossível ter dimker T=3 sob as condições dadas.

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