Sejam V um espaço vetorial e S subset V um subconjunto. Mostre que se W é o subespaço de V gerado por S, então S^0=W^0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para mostrar que, em um espaço vetorial V, se você tem um subconjunto S e o subespaço W gerado por S, então o aniquilador de S é igual ao aniquilador de W. A gente vai precisar entender os conceitos de subespaço gerado e de aniquilador. Bora resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o subespaço gerado por S. Quando a gente fala que W é o subespaço gerado por S, isso quer dizer que W é formado por todas as combinações lineares dos vetores em S. Em outras palavras:
W = span(S) = sumi=1^n ai si mid ai in F, si in S, n in N
Aqui, F representa o corpo (como os números reais) e ai são escalares.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é o aniquilador de um conjunto. O aniquilador de S, denotado por S^0, é o conjunto de todas as aplicações lineares de V para o corpo F que enviam todo vetor de S para zero:
S^0 = f in V^* mid f(s) = 0 para todo s in S
De forma similar, o aniquilador de W, W^0, é o conjunto de todas as aplicações lineares que enviam todo vetor de W para zero.

Passo 4

Vamos mostrar que S^0 subseteq W^0. Se pegarmos uma aplicação linear f que está em S^0, ou seja, que zera todos os vetores de S, precisamos mostrar que ela também zera todos os vetores de W.
Como W é gerado por S, qualquer vetor w in W é uma combinação linear de vetores de S. Ou seja, w = sumi=1^n ai si com si in S. Então,
f(w) = f( sumi=1^n ai si ) = sumi=1^n ai f(si) = sumi=1^n ai cdot 0 = 0
Portanto, f zera todo vetor de W, implicando que f in W^0. Assim, S^0 subseteq W^0.

Passo 5

Agora, vamos mostrar que W^0 subseteq S^0. Pegue uma aplicação linear f que está em W^0, ou seja, que zera todos os vetores de W. Como S subseteq W (já que W é o subespaço gerado por S), qualquer s in S também está em W. Então,
f(s) = 0 para todo s in S
Isso mostra que f in S^0. Portanto, W^0 subseteq S^0.

Resposta

Como mostramos que S^0 subseteq W^0 e W^0 subseteq S^0, concluímos que S^0 = W^0.

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