Sejam
um espaço vetorial e
um subconjunto. Mostre que se
é o subespaço de
gerado por
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para mostrar que, em um espaço vetorial
, se você tem um subconjunto
e o subespaço
gerado por
, então o aniquilador de
é igual ao aniquilador de
. A gente vai precisar entender os conceitos de subespaço gerado e de aniquilador. Bora resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o subespaço gerado por
. Quando a gente fala que
é o subespaço gerado por
, isso quer dizer que
é formado por todas as combinações lineares dos vetores em
. Em outras palavras:
Aqui,
representa o corpo (como os números reais) e
são escalares.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é o aniquilador de um conjunto. O aniquilador de
, denotado por
, é o conjunto de todas as aplicações lineares de
para o corpo
que enviam todo vetor de
para zero:
De forma similar, o aniquilador de
,
, é o conjunto de todas as aplicações lineares que enviam todo vetor de
para zero.
Passo 4
Vamos mostrar que
. Se pegarmos uma aplicação linear
que está em
, ou seja, que zera todos os vetores de
, precisamos mostrar que ela também zera todos os vetores de
.
Como
é gerado por
, qualquer vetor
é uma combinação linear de vetores de
. Ou seja,
com
. Então,
Portanto,
zera todo vetor de
, implicando que
. Assim,
.
Passo 5
Agora, vamos mostrar que
. Pegue uma aplicação linear
que está em
, ou seja, que zera todos os vetores de
. Como
(já que
é o subespaço gerado por
), qualquer
também está em
. Então,
Isso mostra que
. Portanto,
.
Resposta
Como mostramos que
e
, concluímos que
.