Seja F: R^3 R^2 a transformação linear dada por F(x, y, z)=(x+y, 2 x-y+z). Determine uma base e a dimensão de Ker(F) e de Im(F).

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear
Fcolon R^3toR^2, F(x,y,z)=(x+y,;2x - y + z),
e pede a base e a dimensão de Ker(F) e de Im(F). Vamos usar conceitos de resolução de sistemas lineares para o núcleo e de posto (colunas independentes) para a imagem.

Passo 2

Para achar
isto é
Da primeira equação vem (y=-x]. Substituindo na segunda:

Logo todo vetor do núcleo é da forma

Passo 3

Como a solução depende de um único parâmetro x, concluímos que
Ker(F)=,x,(1,-1,-3)mid xinR
tem dimensão 1 e base (1,-1,-3).

Passo 4

Para a imagem, podemos olhar as colunas da matriz de F em relação à base canônica. Seja
A= 1 & 1 & 0 2 & -1 & 1 ,
então as colunas são
c1=(1,2),
c2=(1,-1) e
c3=(0,1).
Verificamos que c1 e c2 são independentes (o determinante do 2times 2 formado por elas é -3neq0), logo já geram um subespaço de dimensão 2. A coluna c3 fica no span de c1,c2, então não aumenta a dimensão.

Passo 5

Portanto
Im(F)=span(1,2),,(1,-1)
tem dimensão 2.

Resposta

Base e dimensão de Ker(F):
base (1,-1,-3), dimensão 1.
Base e dimensão de Im(F):
base (1,2),,(1,-1), dimensão 2.

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