Seja a transformação linear dada por . Determine uma base e a dimensão de e de .
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação linear
e pede a base e a dimensão de e de . Vamos usar conceitos de resolução de sistemas lineares para o núcleo e de posto (colunas independentes) para a imagem.
Passo 2
Para achar
isto é
Da primeira equação vem (y=-x]. Substituindo na segunda:
Logo todo vetor do núcleo é da forma
Passo 3
Como a solução depende de um único parâmetro x, concluímos que
Ker(F)=,x,(1,-1,-3)mid xinR
tem dimensão 1 e base (1,-1,-3).
Passo 4
Para a imagem, podemos olhar as colunas da matriz de F em relação à base canônica. Seja
A= 1 & 1 & 0 2 & -1 & 1 ,
então as colunas são c1=(1,2), c2=(1,-1) e c3=(0,1).
Verificamos que c1 e c2 são independentes (o determinante do 2times 2 formado por elas é -3neq0), logo já geram um subespaço de dimensão 2. A coluna c3 fica no span de c1,c2, então não aumenta a dimensão.
Passo 5
Portanto
Im(F)=span(1,2),,(1,-1)
tem dimensão 2.
Resposta
Base e dimensão de Ker(F):
base (1,-1,-3), dimensão 1.
Base e dimensão de Im(F):
base (1,2),,(1,-1), dimensão 2.