Seja T: R^2 R^2 definida por T(x, y)=(2 x-3 y, x+4 y). Determine a representação matricial de [T]B^prime^B e[T]j^B^prime B em relação às bases B base canônica e B^prime=(1,3),(2,5).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^2toR^2, T(x,y)=(2x-3y,;x+4y),
e pede duas representações matriciais:
1. [T]B'^B, isto é, domínio na base B' = (1,3),(2,5) e contradomínio na base canônica B = (1,0),(0,1).
2. [T]j^B', isto é, domínio na base canônica j = B e contradomínio na base B'.

Passo 2

Para achar [T]B'^B, calculamos T nos vetores de B':
u1=(1,3) e u2=(2,5).
T(u1)=T(1,3)=(2cdot1-3cdot3,;1+4cdot3)=(-7,;13),
T(u2)=T(2,5)=(2cdot2-3cdot5,;2+4cdot5)=(-11,;22)
Como o contradomínio está na base canônica, as colunas da matriz são simplesmente essas coordenadas:
[T]B'^B = -7 & -11 13 & 22

Passo 3

Para achar [[T]_{j}^{B’}), aplicamos nos vetores da base canônica e , e expressamos cada imagem em coordenadas da base .
. . Buscamos tais que
Isso gera o sistema
Da primeira equação (a=2-2b]. Substituindo na segunda:
Logo as coordenadas de [T(e_1)) em são .
. . Procuramos para
isto é,
Da primeira equação (a=-3-2b]. Substituindo na segunda:
Assim, as coordenadas de em são .

Passo 4

Colocando essas colunas em ordem, obtemos
[T]j^B' = -8 & 23 5 & -13

Resposta

[T]B'^B = -7 & -11 13 & 22 , [T]j^B' = -8 & 23 5 & -13

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