Seja T: R^3 R^3 definida por
T(x, y, z)=(z, x-y,-z)
De a dimensão da imagem de T;

Passo 1

O enunciado define a transformação linear Tcolon R^3to R^3 dada por
T(x,y,z)=(z,;x-y,;-z)
O que se pede é a dimensão da imagem de T, isto é, o posto (rank) de T. Para isso, vamos calcular as imagens dos vetores da base canônica e extrair um conjunto de vetores linearmente independentes que gerem a imagem.

Passo 2

Calculemos T agindo sobre os vetores da base canônica e1,e2,e3:
T(e1) = T(1,0,0) = (0,;1,;0),
T(e2) = T(0,1,0) = (0,;-1,;0),
T(e3) = T(0,0,1) = (1,;0,;-1)

Passo 3

Observamos que
T(e2) = (0,-1,0) = -,(0,1,0) = -,T(e1),
logo T(e2) é dependente de T(e1). Já T(e3)=(1,0,-1) não é múltiplo escalar de T(e1)=(0,1,0), pois não existe cinR tal que
c,(0,1,0) = (1,0,-1)
Portanto T(e1),T(e3) é um conjunto de vetores linearmente independentes que gera a imagem de T.

Passo 4

Como conseguimos dois vetores independentes que geram Im(T), concluímos que o posto de T é
diml(Im(T)r) = 2

Resposta

A dimensão da imagem de T é 2.

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