Seja f: A B uma função. Se X, X^prime subseteq A e Y, Y^prime subseteq B, mostre que:
Dê hipóteses para f, tal que f(CA X)=CB f(X).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar hipóteses sobre a função fcolon Ato B tais que, para todo Xsubseteq A, valha
fl(CA Xr);=;CBl(f(X)r),
onde definimos
CA X = Asetminus X e CB f(X)=Bsetminus f(X)
O conteúdo usado será propriedades de imagens de conjuntos via função injetiva e sobrejetiva.

Passo 2

Mostramos primeiro
fl(CA Xr)subseteq CBl(f(X)r)
sob a hipótese de f injetiva.
Seja yin f(CA X). Então existe xin Asetminus X tal que y=f(x). Suponha, por absurdo, que ynotin CB(f(X)). Então yin f(X), ou seja, existe x'in X com f(x')=y=f(x). Pela injetividade segue x=x', contradizendo xnotin X. Logo yin Bsetminus f(X), e
f(CA X)subseteq Bsetminus f(X)=CB(f(X))

Passo 3

Agora mostramos
CBl(f(X)r)subseteq fl(CA Xr)
sob a hipótese de f sobrejetiva.
Seja yin CB(f(X))=Bsetminus f(X). Como f é sobrejetiva, existe xin A tal que y=f(x). Mas ynotin f(X) impede que xin X, então xin Asetminus X. Daí y=f(x)in f(Asetminus X)=f(CA X).

Passo 4

Unindo as inclusões dos Passos 2 e 3, sob as hipóteses de f injetiva e sobrejetiva, concluímos
fl(CA Xr);=;CBl(f(X)r)

Resposta

A condição necessária e suficiente é que f seja bijetiva.

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