Seja
uma função. Se
e
, mostre que:
Dê hipóteses para
, tal que
.
Dê hipóteses para
Passo 1
O enunciado pede para encontrar hipóteses sobre a função
tais que, para todo
, valha
onde definimos
O conteúdo usado será propriedades de imagens de conjuntos via função injetiva e sobrejetiva.
Passo 2
Mostramos primeiro
sob a hipótese de
injetiva.
Seja . Então existe
tal que
. Suponha, por absurdo, que
. Então
, ou seja, existe
com
. Pela injetividade segue
, contradizendo
. Logo
, e
Seja
Passo 3
Agora mostramos
sob a hipótese de
sobrejetiva.
Seja . Como
é sobrejetiva, existe
tal que
. Mas
impede que
, então
. Daí
.
Seja
Passo 4
Unindo as inclusões dos Passos 2 e 3, sob as hipóteses de
injetiva e sobrejetiva, concluímos
Resposta
A condição necessária e suficiente é que
seja bijetiva.