Seja determine uma transformação linear associada a esta matriz. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar uma transformação linear associada à matriz A = -2 & -3 & 0 3 & 3 & 2 . A matéria que estamos trabalhando aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre como relacionar matrizes a transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como as matrizes representam funções que transformam vetores de um espaço para outro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. É uma função T que pega vetores de um espaço (digamos, R^n ) e os transforma em vetores de outro espaço (como R^m ), de uma maneira que preserva as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar.
Passo 3
Agora, como a matriz A está relacionada a essa transformação? Cada coluna de A representa a imagem dos vetores da base canônica de R^3 através da transformação T . Ou seja, se tivermos um vetor x = x1 x2 x3 em R^3 , a transformação linear T associada a A será dada por:
T(x) = A cdot x
Passo 4
Vamos calcular isso passo a passo. Multiplicando a matriz A pelo vetor x :
Finalmente, vamos justificar por que essa é uma transformação linear. A multiplicação de uma matriz por um vetor sempre satisfaz as propriedades de adição e multiplicação por escalar que definem uma transformação linear. Ou seja, para quaisquer vetores u, v in R^3 e escalar c , temos:
T(u + v) = A(u + v) = Au + Av = T(u) + T(v)
T(cu) = A(cu) = cAu = cT(u)
Isso confirma que T é uma transformação linear.
Resposta
A transformação linear associada à matriz A é dada por: