Seja T: R^3 R^3 uma transformação linear com T(x, y, z)=(2 x+3 y, y,-2 z).
Determine os autovetores de T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear T: R^3 R^3 definida por T(x, y, z) = (2x + 3y, y, -2z) . Nosso objetivo é encontrar os autovetores dessa transformação. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Vamos precisar montar e resolver uma equação característica para descobrir os autovalores e, em seguida, encontrar os vetores correspondentes a cada autovalor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Para uma transformação linear T , um vetor não nulo v é chamado de autovetor se T(v) = lambda v , onde lambda é um número escalar chamado de autovalor correspondente.

Passo 3

Vamos representar a transformação linear T por uma matriz. A transformação dada é T(x, y, z) = (2x + 3y, y, -2z) . Assim, a matriz A que representa T é:
A = 2 & 3 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -2

Passo 4

Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade de ordem 3. Vamos montar A - lambda I :
A - lambda I = 2 - lambda & 3 & 0 0 & 1 - lambda & 0 0 & 0 & -2 - lambda

Passo 5

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(1 - lambda)(-2 - lambda)
Igualando a zero para encontrar os autovalores:
(2 - lambda)(1 - lambda)(-2 - lambda) = 0
Assim, os autovalores são:
lambda1 = 2, lambda2 = 1, lambda3 = -2

Passo 6

Agora, para cada autovalor, vamos encontrar os autovetores correspondentes resolvendo (A - lambda I)v = 0 .
Para lambda1 = 2 :
A - 2I = 0 & 3 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -4
Resolvendo o sistema:
0x + 3y + 0z = 0 0x - y + 0z = 0 0x + 0y - 4z = 0
Da segunda equação, y = 0 , da terceira, z = 0 . x é livre. Então, os autovetores são múltiplos de (1, 0, 0) .
Para lambda2 = 1 :
A - I = 1 & 3 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & -3
Resolvendo o sistema:
x + 3y = 0 0 = 0 -3z = 0
Da terceira equação, z = 0 . Da primeira, x = -3y . y é livre. Então, os autovetores são múltiplos de (-3, 1, 0) .
Para lambda3 = -2 :
A + 2I = 4 & 3 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 0
Resolvendo o sistema:
4x + 3y = 0 0x + 3y = 0 0 = 0
Da segunda equação, y = 0 . Da primeira, x = 0 . z é livre. Então, os autovetores são múltiplos de (0, 0, 1) .

Resposta

Os autovetores de T são:
Para lambda = 2: v = k 1 0 0 , k in R
Para lambda = 1: v = k -3 1 0 , k in R
Para lambda = -2: v = k 0 0 1 , k in R

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