Seja uma transformação linear com .
Determine os autovetores de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar os autovetores dessa transformação. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Vamos precisar montar e resolver uma equação característica para descobrir os autovalores e, em seguida, encontrar os vetores correspondentes a cada autovalor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Para uma transformação linear , um vetor não nulo é chamado de autovetor se , onde é um número escalar chamado de autovalor correspondente.
Passo 3
Vamos representar a transformação linear por uma matriz. A transformação dada é . Assim, a matriz que representa é:
Passo 4
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade de ordem 3. Vamos montar A - lambda I :