Verifique que os pares ordenados de números reais u=(u1, u2) formam um espaço vetorial (R^2) com as operações de adição vetorial
u+v=(u1+v1, u2+v2)
e multiplicação por escalar
alpha u=(alpha u1, alpha u2)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto dos pares ordenados de números reais
R^2 = (u1,u2)mid u1,u2inR
com as operações
(u1,u2)+(v1,v2)=(u1+v1,;u2+v2),
alpha,(u1,u2)=(alpha u1,;alpha u2)
é um espaço vetorial sobre R.
Para isso, precisamos verificar os axiomas de espaço vetorial: fechamento, propriedades da adição, existência de elemento neutro e inverso, distribuições, associatividade escalar e identidade escalar.

Passo 2

Verificamos o fechamento sob adição e multiplicação por escalar.
Seja u=(u1,u2) e v=(v1,v2) em R^2. Então
u+v=(u1+v1,;u2+v2)
é também um par de reais, logo pertence a R^2.
Dado alphainR,
alpha,u=(alpha u1,;alpha u2)
é outro par de reais, logo também está em R^2.

Passo 3

Mostramos que a adição é comutativa e associativa.
Comutatividade:
u+v=(u1+v1,u2+v2)=(v1+u1,v2+u2)=v+u,
pois em R vale ui+vi=vi+ui.
Associatividade: seja w=(w1,w2).
(u+v)+w = (,u1+v1+ w1,;u2+v2+w2,) = u+(v+w),
já que a adição em R é associativa.

Passo 4

Exibimos o vetor neutro e o inverso aditivo.
Vetor neutro: 0=(0,0) satisfaz
u+0=(u1+0,u2+0)=(u1,u2)=u
Inverso aditivo: para u=(u1,u2), definimos
-u=(-u1,-u2),
pois
u+(-u)=(u1-u1,u2-u2)=(0,0)=0

Passo 5

Checamos as propriedades distributivas.
Para alphainR e u,vinR^2,
alpha,(u+v) =(alpha(u1+v1),;alpha(u2+v2)) =(alpha u1+alpha v1,;alpha u2+alpha v2) =alpha,u+alpha,v
Para alpha,betainR e uinR^2,
(alpha+beta),u =((alpha+beta)u1,;(alpha+beta)u2) =(alpha u1+beta u1,;alpha u2+beta u2) =alpha,u+beta,u

Passo 6

Faltam a associatividade da multiplicação escalar e o escalar identidade.
Associatividade escalar: para alpha,betainR,
(alphabeta),u =(alphabeta,u1,;alphabeta,u2) =alpha,(beta u1,;beta u2) =alpha,(beta,u)
Escalar identidade: usando 1inR,
1cdotu=(1cdot u1,;1cdot u2)=(u1,u2)=u

Resposta

Como todos os axiomas de espaço vetorial foram verificados, concluímos que R^2 é um espaço vetorial sobre R.

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