Verifique que os pares ordenados de números reais
formam um espaço vetorial
com as operações de adição vetorial
e multiplicação por escalar
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto dos pares ordenados de números reais
com as operações
com as operações
é um espaço vetorial sobre
.
Para isso, precisamos verificar os axiomas de espaço vetorial: fechamento, propriedades da adição, existência de elemento neutro e inverso, distribuições, associatividade escalar e identidade escalar.
Para isso, precisamos verificar os axiomas de espaço vetorial: fechamento, propriedades da adição, existência de elemento neutro e inverso, distribuições, associatividade escalar e identidade escalar.
Passo 2
Verificamos o fechamento sob adição e multiplicação por escalar.
Seja e
em
. Então
Seja
é também um par de reais, logo pertence a
.
Dado ,
Dado
é outro par de reais, logo também está em
.
Passo 3
Mostramos que a adição é comutativa e associativa.
Comutatividade:
Comutatividade:
pois em
vale
.
Associatividade: seja .
Associatividade: seja
já que a adição em
é associativa.
Passo 4
Exibimos o vetor neutro e o inverso aditivo.
Vetor neutro: satisfaz
Vetor neutro:
Inverso aditivo: para
, definimos
pois
Passo 5
Checamos as propriedades distributivas.
Para e
,
Para
Para
e
,
Passo 6
Faltam a associatividade da multiplicação escalar e o escalar identidade.
Associatividade escalar: para ,
Associatividade escalar: para
Escalar identidade: usando
,
Resposta
Como todos os axiomas de espaço vetorial foram verificados, concluímos que
é um espaço vetorial sobre
.