Seja f: R R definida por f(x)= & x^3, se x <= 0 & 2 x, se 0<x<1 & x^2, se x >= 1. Verifique se f possui limite nos pontos 0 e1. A função é contınua em 0 e 1 ?

Passo 1

O enunciado apresenta a função definida por
f(x)= x^3, & x<=0, 2x, & 0<x<1, x^2, & x>=1
O que precisamos fazer é verificar se existem os limites limxto0f(x) e limxto1f(x) e em seguida checar se esses valores coincidem com f(0) e f(1), respectivamente, para decidir a continuidade nesses pontos.

Passo 2

Vamos primeiro em x=0.
Limite pela esquerda:
limxto0^-f(x) =limxto0^-x^3 =0
Limite pela direita:
limxto0^+f(x) =limxto0^+2x =0
Como ambos os lados dão 0, temos
limxto0f(x)=0

Passo 3

Agora avaliamos f(0). Como 0<=0, usamos o ramo x^3, logo
f(0)=0^3=0
Como limxto0f(x)=0=f(0), concluímos que f é contínua em x=0.

Passo 4

Agora em x=1.
Limite pela esquerda:
limxto1^-f(x) =limxto1^-2x =2
Limite pela direita:
limxto1^+f(x) =limxto1^+x^2 =1
Aqui os dois lados não coincidem ( 2neq1), portanto
limxto1f(x)
não existe.

Passo 5

Como o limite em x=1 não existe, não faz sentido comparar com f(1): a função não tem limite ali, logo não pode ser contínua em x=1.

Resposta

Em x=0, o limite existe e vale 0, coincidente com f(0)=0, logo f é contínua em 0.
Em x=1, o limite não existe ( limxto1^-f(x)=2neq1=limxto1^+f(x)), logo f não é contínua em 1.

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