Seja
definidos por
, determinar: Ker, Im , uma base e a dimensão e a transformação linear inversa ( se existir ) das seguintes transformações .
d)
d)
Passo 1
O enunciado pede para analisar a transformação
, onde
é dada por
O conteúdo usado aqui é composição de transformações lineares e noções de núcleo, imagem, bases, dimensões e existência de inversa.
Passo 2
Vamos primeiro obter a expressão de
. Por definição,
Passo 3
Para achar
, resolvemos
Isso dá o sistema
e
, ou seja
e
. Logo
Passo 4
Para obter
, notamos que dado qualquer
podemos escolher
com
e
, ou seja
. Assim
Passo 5
Bases e dimensões:
-
, pois o núcleo é apenas o vetor zero. -
, pois a imagem é todo .
Bases naturais:
Passo 6
Como
, a transformação é bijetora e portanto inversível. De
segue
logo a inversa é