Seja F, G e H in L(R^2) definidos por F(x, y)=(x, 2 y), G(x, y)=(y, x+y) e H(x, y)=(0, x), determinar: Ker, Im , uma base e a dimensão e a transformação linear inversa ( se existir ) das seguintes transformações .
d) F^2

Passo 1

O enunciado pede para analisar a transformação F^2, onde Fcolon R^2to R^2 é dada por
F(x,y) = (x,2y)
O conteúdo usado aqui é composição de transformações lineares e noções de núcleo, imagem, bases, dimensões e existência de inversa.

Passo 2

Vamos primeiro obter a expressão de F^2. Por definição,
F^2(x,y) = Fl(F(x,y)r) = Fl(x,2yr) = l(x,2cdot(2y)r) = (x,4y)

Passo 3

Para achar ker(F^2), resolvemos
F^2(x,y) = (0,0);Long<=ftrightarrow;(x,4y) = (0,0)
Isso dá o sistema x=0 e 4y=0, ou seja x=0 e y=0. Logo
ker(F^2) = (0,0)

Passo 4

Para obter Im(F^2), notamos que dado qualquer (u,v)in R^2 podemos escolher (x,y) com x=u e 4y=v, ou seja y=v/4. Assim
Im(F^2) = R^2

Passo 5

Bases e dimensões:
  • diml(ker(F^2)r)=0, pois o núcleo é apenas o vetor zero.
  • diml(Im(F^2)r)=2, pois a imagem é todo R^2.
    Bases naturais:
base de ker(F^2): varnothing, base de Im(F^2): (1,0),,(0,1)

Passo 6

Como ker(F^2)=0, a transformação é bijetora e portanto inversível. De F^2(x,y)=(u,v)=(x,4y) segue
x=u, y= v4,
logo a inversa é
(F^2)^-1(u,v) = l(u,tfrac v4r)

Resposta

ker(F^2)=(0,0), dimker(F^2)=0\n Im(F^2)=R^2, dimIm(F^2)=2\n Base de Im(F^2): (1,0),(0,1)\n (F^2)^-1(u,v)=(u,tfracv4)

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