Seja F, G e H in L(R^2) definidos por F(x, y)=(x, 2 y), G(x, y)=(y, x+y) e H(x, y)=(0, x), determinar: Ker, Im , uma base e a dimensão e a transformação linear inversa ( se existir ) das seguintes transformações .
b) Fo G

Passo 1

O enunciado pede para a composição de transformações lineares F,Gin L(R^2), definidas por
;F(x,y)=(x,2y) e ;G(x,y)=(y,x+y), determinarmos para Fcirc G:
  • ker(Fcirc G) e uma base, bem como dimker(Fcirc G).
  • Im(Fcirc G) e uma base, bem como dimIm(Fcirc G).
  • A transformação inversa (Fcirc G)^-1, se existir.
    Vamos usar definição de composição, sistema linear para o núcleo, posto para a imagem e teste de invertibilidade pelo determinante.

Passo 2

Primeiro, obtemos a fórmula de . Para :
A matriz de na base canônica é
pois .

Passo 3

Para achar
Da primeira equação vem .
Logo
Uma base de um espaço trivial é o conjunto vazio e

Passo 4

A imagem de Fcirc G é o espaço gerado pelas colunas de A. Como
det A = 0cdot2 - 1cdot2 = -2 neq 0,
as colunas são linearmente independentes e geram R^2. Portanto
Im(Fcirc G)=R^2,
uma base típica é (1,0),(0,1) e
dimIm(Fcirc G)=2

Passo 5

Como det Aneq0, a transformação é invertível. Para achar (Fcirc G)^-1, resolvemos
(y,2x+2y)=(u,v). Daí y=u e 2x+2u=vRightarrow x=tfracv-2u2= tfracv2-u.
Logo, para (u,v)inR^2,
(Fcirc G)^-1(u,v) =l(v/2 - u,;ur)

Resposta

ker(Fcirc G)=(0,0), base vazia, dim=0.
Im(Fcirc G)=R^2, base (1,0),(0,1), dim=2.
(Fcirc G)^-1(u,v)=(v/2 - u,;u).

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