Seja definidos por , determinar: Ker, Im , uma base e a dimensão e a transformação linear inversa ( se existir ) das seguintes transformações .
b) Fo G
Passo 1
O enunciado pede para a composição de transformações lineares , definidas por e , determinarmos para :
e uma base, bem como .
e uma base, bem como .
A transformação inversa , se existir.
Vamos usar definição de composição, sistema linear para o núcleo, posto para a imagem e teste de invertibilidade pelo determinante.
Passo 2
Primeiro, obtemos a fórmula de . Para :
A matriz de na base canônica é
pois .
Passo 3
Para achar
Da primeira equação vem .
Logo
Uma base de um espaço trivial é o conjunto vazio e
Passo 4
A imagem de Fcirc G é o espaço gerado pelas colunas de A. Como
det A = 0cdot2 - 1cdot2 = -2 neq 0,
as colunas são linearmente independentes e geram R^2. Portanto
Im(Fcirc G)=R^2,
uma base típica é (1,0),(0,1) e
dimIm(Fcirc G)=2
Passo 5
Como det Aneq0, a transformação é invertível. Para achar (Fcirc G)^-1, resolvemos (y,2x+2y)=(u,v). Daí y=u e 2x+2u=vRightarrow x=tfracv-2u2= tfracv2-u.
Logo, para (u,v)inR^2,
(Fcirc G)^-1(u,v) =l(v/2 - u,;ur)
Resposta
ker(Fcirc G)=(0,0), base vazia, dim=0. Im(Fcirc G)=R^2, base (1,0),(0,1), dim=2. (Fcirc G)^-1(u,v)=(v/2 - u,;u).