Sejam F: R^2 R^2 operador lineares definido por F(x, y)=(2 x+y, x+3 y). Determine: F^-1(x, y)

Passo 1

O enunciado dá o operador linear Fcolon R^2toR^2 definido por
F(x,y) = (,2x + y,;x + 3y,)
e pede a aplicação inversa F^-1. Para isso, vamos escrever F na forma de matriz em relação à base canônica, verificar que ela é invertível, calcular sua inversa e então obter a fórmula de F^-1(x,y).

Passo 2

A matriz associada a na base canônica é
pois .

Passo 3

Calculamos o determinante de A:
det(A) = 2cdot 3 - 1cdot 1 = 6 - 1 = 5
Como det(A)=5neq 0, a matriz A é invertível.

Passo 4

Para uma matriz 2times2
a & b c & d ,
a inversa é
1ad - bc d & -b -c & a
No nosso caso a=2, b=1, c=1, d=3, então
A^-1 = 15 3 & -1 -1 & 2

Passo 5

Logo, se é a imagem por , sua pré-imagem é
]

Resposta

F^-1(x,y) = l(3x - y5,;-x + 2y5r)

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