Seja F, G e H in L(R^2) definidos por F(x, y)=(x, 2 y), G(x, y)=(y, x+y) e H(x, y)=(0, x), determinar: Ker, Im , uma base e a dimensão e a transformação linear inversa ( se existir ) das seguintes transformações .
c) G o(F+H)

Passo 1

O enunciado define as aplicações lineares em R^2
F(x,y)=(x,2y), G(x,y)=(y,x+y), H(x,y)=(0,x)
e pede para a composta
T = Gcirc(F+H)
determinar ker(T), Im(T), uma base e a dimensão de cada subespaço, e a transformação inversa, se existir. Para isso vamos: (i) obter a expressão de T(x,y), (ii) achar ker(T) e dimker(T), (iii) achar Im(T), sua base e dimIm(T), e (iv) verificar se T é invertível e, em caso afirmativo, calcular T^-1.

Passo 2

Calculemos primeiro (F+H)(x,y) e depois T(x,y)=Gl((F+H)(x,y)r).
(F+H)(x,y) = (x,2y)+(0,x) = (x,;x+2y)
Aplicando G a (u,v)=(x,x+2y),
T(x,y)=G(u,v) = l(v,;u+vr) = l(x+2y,;x+(x+2y)r) = l(x+2y,;2x+2yr)

Passo 3

Para achar
Da segunda equação vem e, então, . Logo

Passo 4

A matriz de T na base canônica é
A = 1 & 2[6pt] 2 & 2
O determinante é det A = 1cdot 2 - 2cdot 2 = -2 neq 0, então rank(A)=2. Isso implica
Im(T)=R^2, dimIm(T)=2
Como base de Im(T) podemos tomar as colunas de A, isto é,
(1,2),,(2,2) ]

Passo 5

Como , é invertível. A inversa da matriz é
Logo, a transformação inversa satisfaz
]

Resposta

kerl(Gcirc(F+H)r)=(0,0), dimker=0 Iml(Gcirc(F+H)r)=R^2, dimIm=2, com base por exemplo (1,2),(2,2)
A transformação é invertível, e
l(Gcirc(F+H)r)^-1(u,v) = (-u+v,;u-tfrac12,v)

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