Seja
definidos por
, determinar: Ker, Im , uma base e a dimensão e a transformação linear inversa ( se existir ) das seguintes transformações .
c)
c)
Passo 1
O enunciado define as aplicações lineares em
e pede para a composta
determinar
,
, uma base e a dimensão de cada subespaço, e a transformação inversa, se existir. Para isso vamos: (i) obter a expressão de
, (ii) achar
e
, (iii) achar
, sua base e
, e (iv) verificar se
é invertível e, em caso afirmativo, calcular
.
Passo 2
Calculemos primeiro
e depois
.
Aplicando
a
,
Passo 3
Para achar
Da segunda equação vem e, então,
. Logo
Passo 4
A matriz de
na base canônica é
O determinante é
, então
. Isso implica
Como base de
podemos tomar as colunas de
, isto é,
Passo 5
Como
,
é invertível. A inversa da matriz
é
Logo, a transformação inversa
satisfaz
]
Resposta
A transformação é invertível, e