Seja
definidos por
, determinar: Ker, Im , uma base e a dimensão e a transformação linear inversa ( se existir ) das seguintes transformações .
f)
f)
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação linear
definida por
e pede para determinar para
:
- o núcleo
, - a imagem
, - uma base e dimensão de cada um,
- e a inversa de
se existir.
Passo 2
Vamos primeiro encontrar uma expressão geral para
. Note que
e, por indução,
Em particular, para
temos
Passo 3
Para achar o núcleo, resolvemos
Logo
.
O núcleo é apenas o vetor zero, sua dimensão é
e a base é vazia.
O núcleo é apenas o vetor zero, sua dimensão é
Passo 4
Para a imagem, observamos que
Dado qualquer
, basta escolher
e
para ter
.
Logo ,
e uma base é, por exemplo,
.
Logo
Passo 5
Como
e
, a aplicação
é bijetora e portanto inversível.
Para , a inversa satisfaz
Para
Logo
Resposta
Kernel:
,
, base vazia.
Imagem: ,
, base
.
Inversa: .
Imagem:
Inversa: