Seja F, G e H in L(R^2) definidos por F(x, y)=(x, 2 y), G(x, y)=(y, x+y) e H(x, y)=(0, x), determinar: Ker, Im , uma base e a dimensão e a transformação linear inversa ( se existir ) das seguintes transformações .
f) F^3

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear
Fcolon R^2 to R^2 definida por
F(x,y) = (x,2y)
e pede para determinar para
;F^3 = Fcirc Fcirc F:
  • o núcleo ker(F^3),
  • a imagem Im(F^3),
  • uma base e dimensão de cada um,
  • e a inversa de F^3 se existir.

Passo 2

Vamos primeiro encontrar uma expressão geral para F^n. Note que
F(x,y) = (x,2y), F^2(x,y) = Fl(F(x,y)r) = F(x,2y) = (x,4y),
e, por indução,
F^n(x,y) = (x,2^n y)
Em particular, para n=3 temos
F^3(x,y) = (x,8y)

Passo 3

Para achar o núcleo, resolvemos
F^3(x,y) = (0,0) ;Long<=ftrightarrow; (x,8y) = (0,0) ;Long<=ftrightarrow; x=0,;8y=0;Longrightarrow;y=0
Logo
ker(F^3)=(0,0).
O núcleo é apenas o vetor zero, sua dimensão é
dimker(F^3)=0 e a base é vazia.

Passo 4

Para a imagem, observamos que
Im(F^3) = (x,8y)mid (x,y)inR^2
Dado qualquer (u,v)inR^2, basta escolher x=u e y=v/8 para ter (u,v)=(x,8y).
Logo Im(F^3)=R^2,
dimIm(F^3)=2 e uma base é, por exemplo,
(1,0),(0,1).

Passo 5

Como ker(F^3)=0 e dimIm(F^3)=2=dimR^2, a aplicação F^3 é bijetora e portanto inversível.
Para (u,v)inR^2, a inversa satisfaz
F^3(x,y)=(u,v);Longrightarrow;(x,8y)=(u,v) ;Longrightarrow; x=u,;y=tfrac v8
Logo
(F^3)^-1(u,v) = l(u,tfrac v8r)

Resposta

Kernel: ker(F^3)=(0,0), dimker(F^3)=0, base vazia.
Imagem: Im(F^3)=R^2, dimIm(F^3)=2, base (1,0),(0,1).
Inversa: (F^3)^-1(u,v) = (u,tfracv8).

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