Seja
f(x)=lg 1+x1-x
Demonstrar que
f(x)+f(y)=f(x+y1+x y)

Passo 1

O enunciado define
f(x)=lg1+x1-x
e pede para mostrar que
f(x)+f(y)=fl(x+y1+xyr)
O conteúdo envolvido é manipulação de logaritmos (propriedade de soma vira produto) e álgebra de frações.

Passo 2

Usamos a propriedade lg a+lg b=lg(ab). Então
f(x)+f(y) =lg1+x1-x+lg1+y1-y =lgl(1+x1-xcdot1+y1-yr)

Passo 3

Calculemos o produto dentro do logaritmo:
1+x1-xcdot1+y1-y =(1+x)(1+y)(1-x)(1-y) =1+x+y+xy1 - x - y + xy

Passo 4

Agora reescrevemos numerador e denominador para isolar x+y1+xy:
1+x+y+xy=(1+xy)+(x+y)=(1+xy)l(1+x+y1+xyr),
1 - x - y + xy=(1+xy)-(x+y)=(1+xy)l(1-x+y1+xyr)
Logo
1+x+y+xy1 - x - y + xy =(1+xy)l(1+x+y1+xyr)(1+xy)l(1-x+y1+xyr) =1+x+y1+xy1-x+y1+xy

Passo 5

Então
f(x)+f(y) =lg1+x+y1+xy1-x+y1+xy =fl(x+y1+xyr),
que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

f(x)+f(y)=fl(x+y1+xyr)

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