Seja r(x, y, z)=(x, y, z) e r=raizx^2+y^2+z^2=|r|. Determinar
nabla cdot(r r)

Passo 1

O enunciado define o campo vetorial
F(x,y,z)=r,vec r=(r x,;r y,;r z),
onde vec r=(x,y,z) e r=raizx^2+y^2+z^2. Precisamos calcular a divergência
nablacdotvec F, usando a definição
nablacdotvec F=partial Fxpartial x+partial Fypartial y+partial Fzpartial z

Passo 2

Vamos usar a regra do produto no termo Fx = x,r. Primeiro notamos que
partial rpartial x=partialpartial xraizx^2+y^2+z^2=xr
Então
partialpartial x(x,r) =r + xpartial rpartial x =r + xxr =r + x^2r

Passo 3

Pelos mesmos argumentos,
partialpartial y(y,r) =r + y^2r, partialpartial z(z,r) =r + z^2r

Passo 4

Somando as três derivadas parciais:
nablacdotvec F =l(r+x^2rr) +l(r+y^2rr) +l(r+z^2rr) =3r+x^2+y^2+z^2r
Como x^2+y^2+z^2=r^2, temos
nablacdotvec F =3r+r^2r =3r+r =4r

Resposta

nablacdot(rvec r)=4,r=4raizx^2+y^2+z^2

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