Seja r(x, y, z)=(x, y, z) e r=raizx^2+y^2+z^2=|r|. Determinar
rot(a times r) onde a é um vetor constante.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do rotacional do campo F(r)=atimesr, onde r=(x,y,z) e a é um vetor constante. O conteúdo envolvido é cálculo do rotacional usando identidades vetoriais.

Passo 2

Vamos usar a identidade vetorial para o rotacional de um produto vetorial. Sejam A e B campos vetoriais, então
nablatimes(AtimesB) =A(nablacdotB) -B(nablacdotA) +(Bcdotnabla)A -(Acdotnabla)B

Passo 3

No nosso caso tomamos A=a (constante) e B=r. Calculamos cada termo:
nablacdotr =partial xpartial x+partial ypartial y+partial zpartial z =1+1+1=3,
nablacdota=0 (já que (a) é constante), áé
(rcdotnabla)a=0 (derivada de constante é zero), é
(acdotnabla)r =axpartial,(x,y,z)partial x +aypartial,(x,y,z)partial y +azpartial,(x,y,z)partial z =(ax,ay,az)=a

Passo 4

Substituindo esses resultados na identidade,
nablatimes(atimesr) =a,(nablacdotr) -r,(nablacdota) +(rcdotnabla)a -(acdotnabla)r =3a-0+0-a =2a

Resposta

2a

Exercícios relacionados