Use o mûˋtodo de substituiûÏûÈo para determinar as seguintes integrais
integral 3 x(5 x^2+6) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 3 x (5 x^2 + 6), dx
usando o método de substituição. Esse método é útil quando a integral envolve uma função composta cuja “parte derivada” aparece multiplicando a função principal.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 5 x^2 + 6
Derivando ambos os lados em relação a x, obtemos
du = 10 x, dx
Como nosso integrando tem 3 x, dx, vamos reescrever 3 x, dx em termos de du.

Passo 3

De du = 10 x, dx segue-se
x, dx = 110,du
e portanto
3 x, dx = 3cdot110,du = 310,du
Substituindo também 5 x^2+6 = u, a integral vira
integral 3 x (5 x^2 + 6), dx = integral u cdot 310,du = 310integral u,du

Passo 4

Agora integramos em função de u:
integral u,du = u^22
Multiplicando pelo fator tfrac310, temos
310integral u,du = 310cdotu^22 = 3u^220

Passo 5

Voltando à variável original com u = 5 x^2 + 6, chegamos a
3u^220 = 320l(5x^2+6r)^2
Não esqueça da constante de integração C.

Resposta

320(5x^2+6)^2 + C

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