Seja u=x^4+y^2 z^3, x=r s e^t, y=r s^2 e^-t e z=r^2 sen(t). Determine:
ur;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função u = x^4 + y^2 z^3 onde x, y e z são funções de r, s e t . Nosso objetivo é encontrar a derivada de u em relação a r , ou seja, ur . Para isso, vamos usar o Regra da Cadeia em cálculo multivariável, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que precisamos. Temos:
x = r s e^t, y = r s^2 e^-t, z = r^2 sin(t)
E queremos encontrar ur , a derivada parcial de u em relação a r .

Passo 3

Vamos aplicar a Regra da Cadeia. Para uma função u(x, y, z) , a derivada parcial em relação a r é dada por:
ur = partial upartial x cdot partial xpartial r + partial upartial y cdot partial ypartial r + partial upartial z cdot partial zpartial r
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de u em relação a x, y, z e as derivadas de x, y, z em relação a r .

Passo 4

Vamos calcular partial upartial x , partial upartial y e partial upartial z :
partial upartial x = 4x^3
partial upartial y = 2y z^3
partial upartial z = 3y^2 z^2

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas de x, y, z em relação a r :
partial xpartial r = s e^t
partial ypartial r = s^2 e^-t
partial zpartial r = 2r sin(t)

Passo 6

Substituindo todas essas derivadas na fórmula da Regra da Cadeia:
ur = (4x^3) cdot (s e^t) + (2y z^3) cdot (s^2 e^-t) + (3y^2 z^2) cdot (2r sin(t))

Passo 7

Agora, vamos substituir as expressões de x, y, z em termos de r, s, t :
x = r s e^t, y = r s^2 e^-t, z = r^2 sin(t)
Substituindo na expressão de ur :
ur = 4(r s e^t)^3 cdot s e^t + 2(r s^2 e^-t)(r^2 sin(t))^3 cdot s^2 e^-t + 3(r s^2 e^-t)^2 (r^2 sin(t))^2 cdot 2r sin(t)

Passo 8

Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
4(r s e^t)^3 cdot s e^t = 4r^3 s^3 e^3t cdot s e^t = 4r^3 s^4 e^4t
  1. Segundo termo:
2(r s^2 e^-t)(r^2 sin(t))^3 cdot s^2 e^-t = 2r s^2 e^-t cdot r^6 sin^3(t) cdot s^2 e^-t = 2r^7 s^4 e^-2t sin^3(t)
  1. Terceiro termo:
3(r s^2 e^-t)^2 (r^2 sin(t))^2 cdot 2r sin(t) = 3r^2 s^4 e^-2t cdot r^4 sin^2(t) cdot 2r sin(t) = 6r^7 s^4 e^-2t sin^3(t)

Passo 9

Somando todos os termos simplificados:
ur = 4r^3 s^4 e^4t + 2r^7 s^4 e^-2t sin^3(t) + 6r^7 s^4 e^-2t sin^3(t)
Podemos combinar os termos semelhantes do segundo e terceiro termos:
ur = 4r^3 s^4 e^4t + 8r^7 s^4 e^-2t sin^3(t)

Resposta

A derivada parcial de u em relação a r é:
ur = 4r^3 s^4 e^4t + 8r^7 s^4 e^-2t sin^3(t)

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