Seja
. Determine:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
onde
e
são funções de
e
. Nosso objetivo é encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos usar o Regra da Cadeia em cálculo multivariável, que nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que precisamos. Temos:
E queremos encontrar
, a derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Vamos aplicar a Regra da Cadeia. Para uma função
, a derivada parcial em relação a
é dada por:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e as derivadas de
em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular
,
e
:
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas de
em relação a
:
Passo 6
Substituindo todas essas derivadas na fórmula da Regra da Cadeia:
Passo 7
Agora, vamos substituir as expressões de
em termos de
:
Substituindo na expressão de
:
Passo 8
Vamos simplificar cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Passo 9
Somando todos os termos simplificados:
Podemos combinar os termos semelhantes do segundo e terceiro termos:
Resposta
A derivada parcial de
em relação a
é: