Seja z=y e^x y uma superfície que na vizinhança do ponto ( 1,2, z0 ) é aproximada por um plano tangente.
Encontre dz;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo envolvendo superfícies e planos tangentes. A questão nos dá a função z = y e^x y e pede para encontrar dz na vizinhança do ponto (1, 2, z0) . Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais para encontrar o plano tangente à superfície nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular z0 , que é o valor da função z no ponto (1, 2) . Vamos substituir x = 1 e y = 2 na função:
z0 = 2 e^1 cdot 2 = 2 e^2

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de z em relação a x e y . Essas derivadas nos dão as inclinações do plano tangente em cada direção.
Derivada parcial em relação a x :
partial zpartial x = y e^x y cdot y = y^2 e^x y
Derivada parcial em relação a y :
partial zpartial y = e^x y + x y e^x y = e^x y (1 + x y)

Passo 4

Vamos agora avaliar essas derivadas no ponto (1, 2) :
partial zpartial xg|(1,2) = 2^2 e^1 cdot 2 = 4 e^2
partial zpartial yg|(1,2) = e^1 cdot 2 (1 + 1 cdot 2) = e^2 cdot 3 = 3 e^2

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos escrever o diferencial dz que aproxima a variação de z próximo ao ponto dado:
dz = partial zpartial xg|(1,2) dx + partial zpartial yg|(1,2) dy
Substituindo os valores que encontramos:
dz = 4 e^2 dx + 3 e^2 dy

Resposta

dz = 4 e^2 , dx + 3 e^2 , dy

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