Verifique se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
Seja
um subespaço vetorial de
, então seu complemento ortogonal também é um subespaço vetorial de
.
Seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se a afirmação "Seja
um subespaço vetorial de
, então seu complemento ortogonal também é um subespaço vetorial de
" é verdadeira ou falsa. Vamos precisar do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e complementos ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de
é um conjunto de vetores que inclui o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar. Então,
é um desses conjuntos que segue essas regras dentro de
.
Passo 3
Agora, o complemento ortogonal de
, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores em
que são perpendicularmente (ou ortogonalmente) a todos os vetores de
. Em outras palavras, se
, então
para todo
.
Passo 4
Para provar que
é um subespaço vetorial, precisamos mostrar que ele satisfaz as três propriedades básicas de um subespaço:
- Contém o vetor zero: O vetor zero está sempre em
porque para qualquer . - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também está em , já que . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então também está em porque .
Passo 5
Como mostramos que
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, podemos concluir que
realmente satisfaz todas as propriedades de um subespaço vetorial.
Resposta
A afirmação é verdadeira. O complemento ortogonal de um subespaço vetorial
em
também é um subespaço vetorial de
.