Verifique se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
Seja W in R^3 um subespaço vetorial de R^3, então seu complemento ortogonal também é um subespaço vetorial de R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se a afirmação "Seja W um subespaço vetorial de R^3 , então seu complemento ortogonal também é um subespaço vetorial de R^3 " é verdadeira ou falsa. Vamos precisar do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e complementos ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de R^3 é um conjunto de vetores que inclui o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar. Então, W é um desses conjuntos que segue essas regras dentro de R^3 .

Passo 3

Agora, o complemento ortogonal de W , denotado por W^perp , é o conjunto de todos os vetores em R^3 que são perpendicularmente (ou ortogonalmente) a todos os vetores de W . Em outras palavras, se v in W^perp , então v cdot w = 0 para todo w in W .

Passo 4

Para provar que W^perp é um subespaço vetorial, precisamos mostrar que ele satisfaz as três propriedades básicas de um subespaço:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero está sempre em W^perp porque 0 cdot w = 0 para qualquer w in W .
  2. Fechado sob adição: Se v1 e v2 estão em W^perp , então v1 + v2 também está em W^perp , já que (v1 + v2) cdot w = v1 cdot w + v2 cdot w = 0 + 0 = 0 .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se v está em W^perp e c é um escalar, então cv também está em W^perp porque (cv) cdot w = c(v cdot w) = c cdot 0 = 0 .

Passo 5

Como mostramos que W^perp contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, podemos concluir que W^perp realmente satisfaz todas as propriedades de um subespaço vetorial.

Resposta

A afirmação é verdadeira. O complemento ortogonal de um subespaço vetorial W em R^3 também é um subespaço vetorial de R^3 .

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