Use uma integral dupla para encontrar o volume do sólido limitado pelos gráficos das equações dadas.
(b) x^2+y^2+z^2=a^2, a>0

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume do sólido limitado pela esfera
x^2+y^2+z^2=a^2, a>0
usando uma integral dupla. O conteúdo aqui é “cálculo de volume por integração dupla” projetando o sólido sobre o plano xy. Para isso, precisamos escrever z como função de x,y e depois passar para coordenadas polares.

Passo 2

Da equação da esfera temos
z^2=a^2-x^2-y^2
logo as duas “faces” do sólido são
ztop=+raiza^2-x^2-y^2, zbot=-raiza^2-x^2-y^2

Passo 3

O volume é dado por
V=integral duplaDl(ztop-zbotr),dA =integral duplaD2raiza^2-x^2-y^2;dA,
onde D é o disco
D=(x,y)mid x^2+y^2<= a^2

Passo 4

Em coordenadas polares ( x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta) o domínio fica
0<= r<= a, 0<=theta<=2pi
e a integral vira
V =integral0^2pi!integral0^a2raiza^2-r^2;r,dr,dtheta

Passo 5

Calcule o integral em r: seja u=a^2-r^2, du=-2r,dr. Então
integral0^a2rraiza^2-r^2,dr =integralu=a^2^0-raizu,du =integral0^a^2raizu,du =[tfrac23u^3/2]0^a^2 =tfrac23a^3

Passo 6

Agora integramos em theta:
V =integral0^2pi23a^3,dtheta =23a^3cdot2pi =4pi a^33

Resposta

V=4pi a^33

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