Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a projeção ortogonal do vetor sobre o subespaço definido por . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre projeções ortogonais e subespaços vetoriais, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é o subespaço . Ele é formado por todos os vetores em que satisfazem as equações e . Isso significa que podemos expressar alguns componentes dos vetores em termos de outros.
Passo 3
Vamos expressar e em função de e :
Assim, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Aqui, e são parâmetros livres, já que não temos restrições sobre eles.
Passo 4
Agora, vamos achar uma base para . Como temos três parâmetros livres (), a dimensão de é 3. Podemos escolher vetores que correspondem a cada parâmetro sendo 1 e os outros 0:
Então, a base de é .
Passo 5
Para encontrar a projeção ortogonal de sobre , usaremos a fórmula da projeção em um subespaço:
onde é a matriz cujas colunas são os vetores da base de .