Seja W=(x1, x2, x3, x4, x5) subset R^5 ; x1+x2=0, x3-x5=0
Calcule a projeção ortogonal de u=(0,1,1,0,0) sobre W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a projeção ortogonal do vetor u = (0,1,1,0,0) sobre o subespaço W definido por W = (x1, x2, x3, x4, x5) in R^5 ; | ; x1 + x2 = 0, x3 - x5 = 0 . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre projeções ortogonais e subespaços vetoriais, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o subespaço W . Ele é formado por todos os vetores em R^5 que satisfazem as equações x1 + x2 = 0 e x3 - x5 = 0 . Isso significa que podemos expressar alguns componentes dos vetores em termos de outros.

Passo 3

Vamos expressar x2 e x5 em função de x1 e x3 :
x2 = -x1 (da equação x1 + x2 = 0 ) çã
x5 = x3 (da equação x3 - x5 = 0 ) çã
Assim, qualquer vetor em W pode ser escrito como:
(x1, -x1, x3, x4, x3)
Aqui, x1, x3 e x4 são parâmetros livres, já que não temos restrições sobre eles.

Passo 4

Agora, vamos achar uma base para W . Como temos três parâmetros livres ( x1, x3, x4 ), a dimensão de W é 3. Podemos escolher vetores que correspondem a cada parâmetro sendo 1 e os outros 0:
v1 = (1, -1, 0, 0, 0)
v2 = (0, 0, 1, 0, 1)
v3 = (0, 0, 0, 1, 0)
Então, a base de W é v1, v2, v3 .

Passo 5

Para encontrar a projeção ortogonal de u sobre W , usaremos a fórmula da projeção em um subespaço:
ProjW(u) = V (V^T V)^-1 V^T u
onde V é a matriz cujas colunas são os vetores da base de W .
Primeiro, montamos a matriz V :
V = 1 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0

Passo 6

Calculamos V^T V :
V^T V = 1 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 = 2 & -1 & 0 -1 & 2 & 0 0 & 0 & 1
Encontramos (V^T V)^-1 :
(V^T V)^-1 = 23 & 13 & 0 13 & 23 & 0 0 & 0 & 1

Passo 7

Agora, calculamos V^T u :
V^T u = 1 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 1 1 0 0 = -1 1 0

Passo 8

Finalmente, aplicamos a fórmula da projeção:
ProjW(u) = V (V^T V)^-1 V^T u = V 23 & 13 & 0 13 & 23 & 0 0 & 0 & 1 -1 1 0 = V 23 cdot (-1) + 13 cdot 1 13 cdot (-1) + 23 cdot 1 0 = V -13 13 0
Multiplicando V por esse vetor:
ProjW(u) = 1 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 -13 13 0 = -13 13 13 0 13

Resposta

A projeção ortogonal de u = (0,1,1,0,0) sobre W é ( -13, 13, 13, 0, 13 ) .

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