Seja A=[rrrrr1 & 2 & 4 & -1 & -2 6 & 12 & 18 & -2 & 10 3 & 6 & 9 & 0 & 3 1 & 2 & 3 & 0 & 1].
Determine uma base e a dimensão do espaço nulo de A.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 1 & 2 & 4 & -1 & -2 6 & 12 & 18 & -2 & 10 3 & 6 & 9 & 0 & 3 1 & 2 & 3 & 0 & 1
e pede uma base e a dimensão do espaço nulo de A. Para isso, precisamos resolver o sistema homogêneo
A x = 0,
onde x = (x1,x2,x3,x4,x5)^T.

Passo 2

Montamos as equações de Ax=0:
x1 + 2x2 + 4x3 - x4 - 2x5 = 0, 6x1 +12x2 +18x3 -2x4 +10x5 = 0, 3x1 +6x2 +9x3 +0x4 +3x5 = 0, x1 +2x2 +3x3 +0x4 +x5 = 0
Vamos aplicar eliminação de Gauss na matriz ampliada (sem coluna de zeros, pois é homogêneo).

Passo 3

Executando operações de linha sobre A obtemos a forma escalonada:
1 & 2 & 4 & -1 & -2 0 & 0 & 1 & -tfrac23 & -tfrac113 0 & 0 & 0 & 1 & -2 0 & 0 & 0 & 0 & 0
Dessa forma, há pivôs nas colunas 1, 3 e 4. Logo, rank(A)=3.

Passo 4

Como A tem 5 colunas, o número de variáveis é 5. Com 3 pivôs, sobram 2 variáveis livres. Tomamos:
x2 = s, x5 = t,
com s,tinR. Das equações escalonadas:
x4 - 2x5 = 0 ;Rightarrow; x4 = 2t,
x3 - tfrac23x4 - tfrac113 x5 = 0 ;Rightarrow; x3 = tfrac23,(2t) + tfrac113,t = 5t,
x1 +2x2 +4x3 - x4 -2x5 =0 ;Rightarrow; x1 = -2s -4(5t) + (2t) +2t = -2s -16t

Passo 5

Assim, o vetor genérico do espaço nulo é
x = (x1,x2,x3,x4,x5) = s,(-2,1,0,0,0) + t,(-16,0,5,2,1)
Isso mostra que uma base de ker(A) é
l(-2,1,0,0,0),;(-16,0,5,2,1)r

Resposta

A dimensão do espaço nulo de A é 2 e uma base é
(-2,1,0,0,0),;(-16,0,5,2,1)

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