Seja A=(cccc1 & 1 & -2 & 0 1 & 2 & -2 & 1 0 & -2 & 4 & -2 0 & 1 & 1 & 1).
Determine uma base e as respectivas dimensões para o núcleo de A.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma matriz quadrada A de ordem 4:
A = 1 & 1 & -2 & 0 1 & 2 & -2 & 1 0 & -2 & 4 & -2 0 & 1 & 1 & 1
A questão pede para a gente encontrar uma base para o núcleo dessa matriz, que também é conhecido como espaço nulo. Além disso, precisamos determinar a dimensão desse núcleo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre sistemas lineares e espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma matriz. O núcleo de A , denotado por Ker(A) , é o conjunto de todos os vetores x que satisfazem a equação:
A cdot x = 0
Aqui, x é um vetor coluna com 4 componentes, já que A é uma matriz 4 times 4 .

Passo 3

Para encontrar o núcleo, precisamos resolver o sistema linear A cdot x = 0 . Vamos montar esse sistema:
1x1 + 1x2 - 2x3 + 0x4 = 0 1x1 + 2x2 - 2x3 + 1x4 = 0 0x1 - 2x2 + 4x3 - 2x4 = 0 0x1 + 1x2 + 1x3 + 1x4 = 0
Agora, vamos resolver esse sistema usando o método de eliminação de Gauss para reduzir a matriz aumentada a uma forma mais simples.

Passo 4

Vamos escrever a matriz aumentada do sistema:
[cccc|c 1 & 1 & -2 & 0 & 0 1 & 2 & -2 & 1 & 0 0 & -2 & 4 & -2 & 0 0 & 1 & 1 & 1 & 0 ]
Agora, vamos fazer operações de linha para simplificar:
  1. Subtrair a primeira linha da segunda linha:
R2 = R2 - R1 Rightarrow [cccc|c 1 & 1 & -2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & -2 & 4 & -2 & 0 0 & 1 & 1 & 1 & 0 ]
  1. Adicionar 2 vezes a segunda linha à terceira linha:
R3 = R3 + 2R2 Rightarrow [cccc|c 1 & 1 & -2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 4 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 1 & 0 ]
  1. Subtrair a segunda linha da quarta linha:
R4 = R4 - R2 Rightarrow [cccc|c 1 & 1 & -2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 4 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 ]
  1. Dividir a terceira linha por 4:
R3 = 14R3 Rightarrow [cccc|c 1 & 1 & -2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 ]
  1. Subtrair a terceira linha da quarta linha:
R4 = R4 - R3 Rightarrow [cccc|c 1 & 1 & -2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ]
Agora, a matriz está na forma escalonada. Vamos traduzir isso de volta para equações:
x1 + x2 - 2x3 = 0 x2 + x4 = 0 x3 = 0 0 = 0

Passo 5

Vamos resolver o sistema:
  1. Da terceira equação: [x_3 = 0).
  2. Da segunda equação: .
  3. Da primeira equação: . Substituindo e :
Agora, podemos expressar todas as variáveis em termos de (que é um parâmetro livre). Vamos chamar , onde é um número real qualquer.
Assim, temos:
Podemos escrever o vetor solução (x] como:

Passo 6

Agora, vamos identificar a base para o núcleo de A . A base é o conjunto de vetores que geram todo o núcleo e são linearmente independentes.
Aqui, temos apenas um vetor:
1 -1 0 1
Esse vetor forma uma base para Ker(A) .
A dimensão do núcleo, também conhecida como o número de dimensões, é igual ao número de vetores na base. Como temos um vetor, a dimensão é 1.

Resposta

Uma base para o núcleo de A é o conjunto formado pelo vetor 1 -1 0 1 . A dimensão do núcleo é 1.

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