Seja A=(cccc1 & 1 & -2 & 0 1 & 2 & -2 & 1 0 & -2 & 4 & -2 0 & 1 & 1 & 1).
Escreva as relações de dependência linear entre as colunas da matriz A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de dependência linear entre as colunas da matriz A . A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, mais especificamente o conceito de dependência e independência linear. Para resolver, vamos precisar entender como verificar se algumas colunas da matriz podem ser escritas como combinações lineares de outras.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as colunas da matriz A :
A = 1 & 1 & -2 & 0 1 & 2 & -2 & 1 0 & -2 & 4 & -2 0 & 1 & 1 & 1
Vamos chamar as colunas de C1, C2, C3 e C4 .

Passo 3

A ideia é verificar se existe uma combinação de C1, C2, C3 , ou C4 que resulte em uma coluna nula. Matematicamente, queremos encontrar escalares a1, a2, a3, a4 , nem todos zero, tal que:
a1 C1 + a2 C2 + a3 C3 + a4 C4 = 0

Passo 4

Vamos montar o sistema de equações correspondentes:
a1(1) + a2(1) + a3(-2) + a4(0) = 0 a1(1) + a2(2) + a3(-2) + a4(1) = 0 a1(0) + a2(-2) + a3(4) + a4(-2) = 0 a1(0) + a2(1) + a3(1) + a4(1) = 0
Simplificando, temos:
a1 + a2 - 2a3 = 0 a1 + 2a2 - 2a3 + a4 = 0 -2a2 + 4a3 - 2a4 = 0 a2 + a3 + a4 = 0

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema. Podemos usar métodos como substituição ou eliminação. Vamos começar eliminando a1 .
Da primeira equação:
a1 = -a2 + 2a3
Substituindo a1 na segunda equação:
(-a2 + 2a3) + 2a2 - 2a3 + a4 = 0 (-a2 + 2a3) + 2a2 - 2a3 + a4 = 0 a2 + a4 = 0 a4 = -a2

Passo 6

Substituindo a4 = -a2 na quarta equação:
a2 + a3 + (-a2) = 0 a3 = 0

Passo 7

Com a3 = 0 e a4 = -a2 , voltamos à primeira equação:
a1 = -a2 + 2(0) a1 = -a2

Passo 8

Agora, substituímos a1 = -a2 e a3 = 0 na terceira equação:
-2a2 + 4(0) - 2(-a2) = 0 -2a2 + 2a2 = 0 0 = 0
Isso confirma que nossas relações encontradas são consistentes.

Resposta

As relações de dependência linear entre as colunas da matriz A são:
C1 = -C2 e C4 = -C2
Ou seja, as colunas C1 e C4 podem ser escritas como combinações lineares da coluna C2 .

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