Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar uma base do subespaço gerado pelos vetores , e . A matéria envolvida aqui é álgebra linear, mais especificamente o conceito de base e dependência linear. Para resolver isso, vamos precisar verificar se os vetores são linearmente independentes e, se não forem, identificar quais deles formam uma base para .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma base. Uma base de um subespaço é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço. Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como combinação linear desses vetores base. Para verificar se os vetores dados são uma base, precisamos ver se eles são linearmente independentes.
Passo 3
Vamos organizar os vetores em uma matriz, colocando cada vetor como uma coluna:
Agora, nosso objetivo é reduzir essa matriz para ver se alguma coluna pode ser escrita como combinação das outras, o que indicaria dependência linear.
Passo 4
Vamos fazer a eliminação de Gauss para simplificar a matriz. Primeiro, usamos o primeiro elemento da primeira coluna (que é 1) como nosso pivô.
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
Agora, olhamos para a segunda coluna. O elemento na terceira linha e segunda coluna é -1, então usamos isso como o próximo pivô. Vamos multiplicar a terceira linha por -1 para facilitar:
Nossa matriz está agora na forma escalonada. Observamos que temos dois pivôs (1 na primeira linha e 1 na terceira linha). Isso significa que somente dois dos três vetores são linearmente independentes. Portanto, podemos escolher u1 e u2 como vetores que formam uma base para V .
Resposta
Uma base de V é formada pelos vetores u1 = (1, 2, 1, 2) e u2 = (2, 4, 1, 2) .