Seja V o subespaço gerado pelos vetores
u1=(1,2,1,2), u2=(2,4,1,2), u3=(5,10,1,2)
Determine uma base de V.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar uma base do subespaço V gerado pelos vetores u1 = (1, 2, 1, 2) , u2 = (2, 4, 1, 2) e u3 = (5, 10, 1, 2) . A matéria envolvida aqui é álgebra linear, mais especificamente o conceito de base e dependência linear. Para resolver isso, vamos precisar verificar se os vetores são linearmente independentes e, se não forem, identificar quais deles formam uma base para V .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma base. Uma base de um subespaço é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço. Ou seja, qualquer vetor em V pode ser escrito como combinação linear desses vetores base. Para verificar se os vetores dados são uma base, precisamos ver se eles são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos organizar os vetores em uma matriz, colocando cada vetor como uma coluna:
1 & 2 & 5 2 & 4 & 10 1 & 1 & 1 2 & 2 & 2
Agora, nosso objetivo é reduzir essa matriz para ver se alguma coluna pode ser escrita como combinação das outras, o que indicaria dependência linear.

Passo 4

Vamos fazer a eliminação de Gauss para simplificar a matriz. Primeiro, usamos o primeiro elemento da primeira coluna (que é 1) como nosso pivô.
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
R2 = R2 - 2R1 Rightarrow 1 & 2 & 5 0 & 0 & 0 1 & 1 & 1 2 & 2 & 2
Fazemos o mesmo para a terceira e quarta linhas:
R3 = R3 - R1 Rightarrow 1 & 2 & 5 0 & 0 & 0 0 & -1 & -4 2 & 2 & 2
R4 = R4 - 2R1 Rightarrow 1 & 2 & 5 0 & 0 & 0 0 & -1 & -4 0 & -2 & -8

Passo 5

Agora, olhamos para a segunda coluna. O elemento na terceira linha e segunda coluna é -1, então usamos isso como o próximo pivô. Vamos multiplicar a terceira linha por -1 para facilitar:
R3 = -R3 Rightarrow 1 & 2 & 5 0 & 0 & 0 0 & 1 & 4 0 & -2 & -8
Agora, vamos eliminar os elementos abaixo desse pivô:
R4 = R4 + 2R3 Rightarrow 1 & 2 & 5 0 & 0 & 0 0 & 1 & 4 0 & 0 & 0

Passo 6

Nossa matriz está agora na forma escalonada. Observamos que temos dois pivôs (1 na primeira linha e 1 na terceira linha). Isso significa que somente dois dos três vetores são linearmente independentes. Portanto, podemos escolher u1 e u2 como vetores que formam uma base para V .

Resposta

Uma base de V é formada pelos vetores u1 = (1, 2, 1, 2) e u2 = (2, 4, 1, 2) .

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