Sejam p(t) e q(t) funçōes contínuas em R. Sabendo-se que y1(t)=t e y2(t)=t^2 sāo soluçōes fundamentais da equação diferencial t^2 y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=0, para t>0, qual das funçōes seguintes é uma solução particular da equação t^2 y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=4 t^2 ?
y(t)=23 t.

Passo 1

O enunciado dá a equação não homogênea
t^2y''+p(t),y'+q(t),y=4t^2,
sendo que as soluções fundamentais da homogênea
t^2y''+p(t),y'+q(t),y=0
são y1(t)=t e y2(t)=t^2. Vamos usar o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
y''+P(t)y'+Q(t)y=r(t),
dividindo tudo por t^2. Assim,
P(t)=p(t)t^2, Q(t)=q(t)t^2, r(t)=4

Passo 3

Calculamos o Wronskiano de y1 e y2:
W(t)= y1 & y2 y1' & y2' = t & t^2 1 & 2t = tcdot2t - 1cdot t^2 = t^2

Passo 4

A fórmula de variação de parâmetros dá
yp=-y1integral y2,rW,dt ;+;y2integral y1,rW,dt
Aqui
y2,rW=t^2cdot4t^2=4, y1,rW=tcdot4t^2=4t
Logo
integral 4,dt = 4t, integral 4t,dt = 4ln t
Substituindo,
yp=-t,(4t)+t^2,(4ln t) =-4t^2+4t^2ln t =4t^2(ln t - 1)

Resposta

A função
yp(t)=4t^2l(ln t -1r)
é uma solução particular da equação dada.

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