Seja
. Determine as derivadas parciais
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar as derivadas parciais
e
da função
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
e devemos lembrar que a expressão só está definida quando
.
Passo 2
O que é uma derivada parcial? Vou explicar devagar: a derivada parcial de
em relação a
, denotada
, é a taxa de variação de
quando só alteramos
e mantemos
fixo. Formalmente,
Analogamente para
variando somente
. Na prática, ao calcular parciais tratamos a outra variável como constante.
Passo 3
Regra que vamos usar: como
é uma razão de duas funções de
e
, usamos a regra do quociente (adaptada para derivadas parciais). Se
, então
onde
e
. Idem trocando
por
para obter a derivada parcial em relação a
. Aqui explico o que cada símbolo significa:
é o numerador,
é o denominador;
é a derivada parcial de
em relação a
, etc.
Passo 4
Identificamos o numerador e o denominador:
Agora calculamos as derivadas parciais simples de
e
:
Expliquei cada uma: por exemplo, ao derivar
em relação a
tratamos
como constante, então
e
, resultando em
.
Passo 5
Aplicando a regra do quociente para
:
Agora desenvolvo o numerador passo a passo:
Logo
Passo 6
Agora aplico a regra do quociente para
:
Faço as contas no numerador:
Portanto
Passo 7
Breve verificação alternativa (útil para a prova): podemos reescrever
Derivando essa forma em relação a
(com
fixo) temos
vezes a derivada de
em relação a
, que é
, resultando em
— confirma o resultado de
. Para
a conta é análoga e confirma
. Bom sinal de que não erramos.