Seja z=f(x, y). Determine as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{e} \frac{\partial z}{\partial y}.
f(x, y)=\frac{x-y}{x+y}

Passo 1

O enunciado pede para determinar as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} da função
f(x,y)=\frac{x-y}{x+y}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\;f(x,y)=\dfrac{x-y}{x+y} e devemos lembrar que a expressão só está definida quando \;x+y\neq0.

Passo 2

O que é uma derivada parcial? Vou explicar devagar: a derivada parcial de f em relação a x, denotada \frac{\partial f}{\partial x}, é a taxa de variação de f quando só alteramos x e mantemos y fixo. Formalmente,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
Analogamente para \frac{\partial f}{\partial y} variando somente y. Na prática, ao calcular parciais tratamos a outra variável como constante.

Passo 3

Regra que vamos usar: como f é uma razão de duas funções de x e y, usamos a regra do quociente (adaptada para derivadas parciais). Se f=\dfrac{u(x,y)}{v(x,y)}, então
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u_x\,v - u\,v_x}{v^2},
onde u_x=\dfrac{\partial u}{\partial x} e v_x=\dfrac{\partial v}{\partial x}. Idem trocando x por y para obter a derivada parcial em relação a y. Aqui explico o que cada símbolo significa: u é o numerador, v é o denominador; u_x é a derivada parcial de u em relação a x, etc.

Passo 4

Identificamos o numerador e o denominador:
u(x,y)=x-y,\qquad v(x,y)=x+y.
Agora calculamos as derivadas parciais simples de u e v:
u_x=\frac{\partial}{\partial x}(x-y)=1,\qquad v_x=\frac{\partial}{\partial x}(x+y)=1,
u_y=\frac{\partial}{\partial y}(x-y)=-1,\qquad v_y=\frac{\partial}{\partial y}(x+y)=1.
Expliquei cada uma: por exemplo, ao derivar x-y em relação a x tratamos y como constante, então \partial x/\partial x=1 e \partial(-y)/\partial x=0, resultando em 1.

Passo 5

Aplicando a regra do quociente para \dfrac{\partial f}{\partial x}:
\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{u_x\,v - u\,v_x}{v^2} =\frac{1\cdot (x+y) - (x-y)\cdot 1}{(x+y)^2}.
Agora desenvolvo o numerador passo a passo:
1\cdot (x+y) - (x-y)\cdot 1 = (x+y) - (x-y) = x+y-x+y = 2y.
Logo
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{2y}{(x+y)^2}.

Passo 6

Agora aplico a regra do quociente para \dfrac{\partial f}{\partial y}:
\frac{\partial z}{\partial y} =\frac{u_y\,v - u\,v_y}{v^2} =\frac{(-1)\cdot (x+y) - (x-y)\cdot 1}{(x+y)^2}.
Faço as contas no numerador:
-1\cdot (x+y) - (x-y) = -(x+y) - (x-y) = -x-y-x+y = -2x.
Portanto
\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{2x}{(x+y)^2}.

Passo 7

Breve verificação alternativa (útil para a prova): podemos reescrever
\frac{x-y}{x+y}=1-\frac{2y}{x+y}.
Derivando essa forma em relação a x (com y fixo) temos -2y vezes a derivada de \dfrac{1}{x+y} em relação a x, que é -\dfrac{1}{(x+y)^2}, resultando em \dfrac{2y}{(x+y)^2} — confirma o resultado de \partial z/\partial x. Para \partial z/\partial y a conta é análoga e confirma -\dfrac{2x}{(x+y)^2}. Bom sinal de que não erramos.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{2y}{(x+y)^2}\n
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{2x}{(x+y)^2}

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