A temperatura em um ponto
de uma placa metálica é dada por
, onde
é medido em
e
em metros.
(A) Encontre a taxa de variação da temperatura no ponto
na direção e sentido do vetor
.
(B) Qual é a direção e sentido de maior crescimento da temperatura em
?
(C) Encontre a taxa máxima de crescimento em
.
(A) Encontre a taxa de variação da temperatura no ponto
(B) Qual é a direção e sentido de maior crescimento da temperatura em
(C) Encontre a taxa máxima de crescimento em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre a temperatura
em uma placa metálica, onde
está em graus Celsius e
em metros. Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre derivadas direcionais e gradientes, para encontrar as taxas de variação da temperatura na direção de um vetor específico e também determinar a direção de maior crescimento da temperatura.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar a taxa de variação da temperatura na direção de um vetor. Basicamente, queremos saber como a temperatura muda se nos movemos na direção desse vetor. Para isso, usamos a derivada direcional. A fórmula para a derivada direcional de
na direção do vetor unitário
é:
Aqui,
é o gradiente de
, que nos dá a direção de maior aumento da função.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Calculando as derivadas:
Então, o gradiente fica:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Esse é o vetor gradiente no ponto
.
Passo 5
A direção do vetor
já é um vetor unitário, ou seja, sua magnitude é 1. Para encontrar a derivada direcional, fazemos o produto escalar entre o gradiente e
:
Calculando o produto escalar:
Passo 6
Portanto, a taxa de variação da temperatura no ponto
na direção e sentido do vetor
é
graus Celsius por metro.
Passo 7
Para a parte (B), queremos encontrar a direção e o sentido de maior crescimento da temperatura em
. Sabemos que o gradiente
aponta exatamente nessa direção de maior aumento. No nosso caso, o gradiente em
é:
Então, a direção de maior crescimento é a direção do vetor
. Para facilitar, podemos simplificar esse vetor dividindo por 2:
Isso significa que a direção é na direção de
, mas como o vetor é negativo, o sentido é oposto.
Passo 8
Finalmente, para a parte (C), a taxa máxima de crescimento é o comprimento do vetor gradiente. Calculamos isso usando a norma do gradiente:
Resposta
(A) A taxa de variação da temperatura em
na direção e sentido de
é
°C/m.
(B) A direção de maior crescimento da temperatura em
é na direção de
com sentido oposto ao vetor gradiente.
(C) A taxa máxima de crescimento em
é
°C/m.