A temperatura em um ponto (x, y) de uma placa metálica é dada por T(x, y)=100-x^2-y^2, onde T é medido em ^circ C e x, y em metros.
(A) Encontre a taxa de variação da temperatura no ponto P=(1,2) na direção e sentido do vetor u=(35, 45).
(B) Qual é a direção e sentido de maior crescimento da temperatura em P ?
(C) Encontre a taxa máxima de crescimento em P.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre a temperatura T(x, y) = 100 - x^2 - y^2 em uma placa metálica, onde T está em graus Celsius e x, y em metros. Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre derivadas direcionais e gradientes, para encontrar as taxas de variação da temperatura na direção de um vetor específico e também determinar a direção de maior crescimento da temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar a taxa de variação da temperatura na direção de um vetor. Basicamente, queremos saber como a temperatura muda se nos movemos na direção desse vetor. Para isso, usamos a derivada direcional. A fórmula para a derivada direcional de T na direção do vetor unitário u é:
Du T = nabla T cdot u
Aqui, nabla T é o gradiente de T , que nos dá a direção de maior aumento da função.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de T(x, y) = 100 - x^2 - y^2 . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de T em relação a x e y :
nabla T = ( partial Tpartial x, partial Tpartial y )
Calculando as derivadas:
partial Tpartial x = -2x
partial Tpartial y = -2y
Então, o gradiente fica:
nabla T = (-2x, -2y)

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto P = (1, 2) :
nabla T(P) = (-2 cdot 1, -2 cdot 2) = (-2, -4)
Esse é o vetor gradiente no ponto P .

Passo 5

A direção do vetor u = ( 35, 45 ) já é um vetor unitário, ou seja, sua magnitude é 1. Para encontrar a derivada direcional, fazemos o produto escalar entre o gradiente e u :
Du T = nabla T cdot u = (-2, -4) cdot ( 35, 45 )
Calculando o produto escalar:
Du T = (-2) cdot 35 + (-4) cdot 45 = -65 - 165 = -225

Passo 6

Portanto, a taxa de variação da temperatura no ponto P = (1, 2) na direção e sentido do vetor u é -225 graus Celsius por metro.

Passo 7

Para a parte (B), queremos encontrar a direção e o sentido de maior crescimento da temperatura em P . Sabemos que o gradiente nabla T aponta exatamente nessa direção de maior aumento. No nosso caso, o gradiente em P é:
nabla T(P) = (-2, -4)
Então, a direção de maior crescimento é a direção do vetor (-2, -4) . Para facilitar, podemos simplificar esse vetor dividindo por 2:
(-2, -4) = -2 cdot (1, 2)
Isso significa que a direção é na direção de (1, 2) , mas como o vetor é negativo, o sentido é oposto.

Passo 8

Finalmente, para a parte (C), a taxa máxima de crescimento é o comprimento do vetor gradiente. Calculamos isso usando a norma do gradiente:
|nabla T(P)| = raiz(-2)^2 + (-4)^2 = raiz4 + 16 = raiz20 = 2raiz5

Resposta

(A) A taxa de variação da temperatura em P = (1, 2) na direção e sentido de u = ( 35, 45 ) é -225 °C/m.
(B) A direção de maior crescimento da temperatura em P é na direção de (1, 2) com sentido oposto ao vetor gradiente.
(C) A taxa máxima de crescimento em P é 2raiz5 °C/m.

Exercícios relacionados