Seja
Determine o valor (ou valores) de f(x)=ll a-2 b x, & se x>2 b, & se x=2 -x+2 a, & se x<2 e a para que b seja continua em 2 .

Passo 1

O enunciado define a função por partes e pede continuidade em x=2. O conteúdo aqui é continuidade de função em ponto: precisamos que o limite à esquerda e o limite à direita em 2 coincidam com o valor f(2).
A função é
f(x)= a - 2 b x, & x>2 b, & x=2 -x + 2 a, & x<2

Passo 2

Calcular o limite à esquerda (x→2⁻):
Para x<2 temos f(x) = -x + 2a, então
limxto2^-f(x)=limxto2^-(-x+2a) = -2 + 2a

Passo 3

Calcular o limite à direita (x→2⁺):
Para x>2 temos f(x) = a - 2bx, então
limxto2^+f(x)=limxto2^+(a - 2bx) = a - 4b

Passo 4

Impor as condições de continuidade: os limites devem ser iguais a f(2)=b. Isso dá o sistema
-2 + 2a = b,
a - 4b = b
Da segunda equação vem a=5b. Substituindo na primeira:
-2 + 2(5b) = b implies 10b -2 = b implies 9b = 2 implies b = tfrac29
Logo a = 5b = 10/9.

Resposta

a = \tfrac{10}{9},; b = \tfrac{2}{9}

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