Seja f(x)=raizx+8.
Use a definição de derivada para calcular f^prime(1).

Passo 1

Então, a gente tem a função $ f(x) = \sqrt{x + 8} $ e precisa encontrar a derivada dela no ponto onde $ x = 1 $. Vamos usar a definição de derivada, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para encontrar a taxa de variação de uma função em um ponto específico.

Passo 2

A definição de derivada de uma função $ f $ em um ponto $ a $ é dada por:
f
No nosso caso, $ a = 1 $.

Passo 3

Vamos substituir $ f(x) $ na definição:
f(x)

Passo 4

Para resolver esse limite, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador para simplificar:
raiz9 + h - 3h times raiz9 + h + 3raiz9 + h + 3 = (9 + h) - 9h (raiz9 + h + 3) = hh (raiz9 + h + 3) = 1raiz9 + h + 3
Agora, aplicamos o limite quando $ h $ tende a 0:
h

Resposta

Portanto, a derivada de $ f(x) = \sqrt{x + 8} $ no ponto $ x = 1 $ é $ f’(1) = \frac{1}{6} $.

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