Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por
\[f(x, y)= \begin{cases}\frac{x|y|}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0), \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0) .\end{cases}
(a) Prove que f\] é contínua em \((0,0).
(b) Prove que para todo vetor unitário \vec{w} existe \frac{\partial f}{\partial \vec{w}}(0,0).
(c) f é diferenciável em (0,0) ?
(d) As derivadas parciais de f são contínuas em (0,0) ?
As perguntas são:
(a) Mostrar que f é contínua em (0,0).
(b) Mostrar que para todo vetor unitário \vec{w} existe a derivada direcional \dfrac{\partial f}{\partial \vec{w}}(0,0).
(c) Verificar se f é diferenciável em (0,0).
(d) Verificar se as derivadas parciais de f são contínuas em (0,0).
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a definição de f em pontos distintos de (0,0) envolve o módulo |y| e a norma \sqrt{x^2+y^2}; em (0,0) o valor é 0. A análise principal será em torno de (0,0).]
Passo 2
(a) Definição e estratégia para continuidade: para mostrar que f é contínua em (0,0) preciso provar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.
Vou estimar |f(x,y)| por uma expressão que tende a zero quando (x,y)\to(0,0).
Primeiro, use uma desigualdade simples entre produtos e somas de quadrados: para quaisquer reais x,y vale
2|x||y|\le x^2+y^2.
Essa desigualdade vem da identidade (|x|-|y|)^2\ge 0, ou do fato de que 2ab\le a^2+b^2 para a=|x|,b=|y|. Logo
|x||y|\le \frac{x^2+y^2}{2}.
Passo 3
Aplicando a desigualdade à expressão de f, para (x,y)\neq(0,0) temos
Portanto \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0, e isso prova que f é contínua em (0,0).
Passo 4
(b) Definição e cálculo da derivada direcional: seja \vec{w}=(a,b) um vetor unitário, isto é \,a^2+b^2=1. A derivada direcional de f em (0,0) na direção \vec{w} (no sentido duas vias) é o limite
Portanto o limite quando t\to0 existe e vale a\,|b|. Concluímos que para todo vetor unitário \vec{w}=(a,b) existe a derivada direcional em (0,0) e
\frac{\partial f}{\partial \vec{w}}(0,0)=a\,|b|.
Nota didática: a razão pela qual o módulo |t| some é que a raiz quadrada \sqrt{t^2(a^2+b^2)} produz |t|, e isso cancela com o |t| do numerador, sobrando um termo linear em t que, ao dividir por t, dá uma constante.
Passo 6
(c) Verificação de diferenciabilidade: se f fosse diferenciável em (0,0), então o diferencial linear Df(0,0) existiria e seria dado pelas derivadas parciais. Primeiro calculemos as derivadas parciais em (0,0) pelas definições univariadas.
Portanto ao aproximar (x,y)\to(0,0) pela reta y=x o quociente tende a \tfrac{1}{2}\neq 0. Isso impede que a condição de diferenciabilidade seja satisfeita. Conclusão: f NÃO é diferenciável em (0,0).
Passo 9
(d) Continuidade das derivadas parciais em (0,0): primeiro obtenha fórmulas explícitas para as derivadas parciais quando (x,y)\neq(0,0). Para y\neq0 podemos escrever |y|=\operatorname{sgn}(y)\,y e, calculando as derivadas (produto e derivada de r=\sqrt{x^2+y^2}), obtemos, para (x,y)\neq(0,0),
Esse limite ao longo de y=x tende a \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\neq 0. Mas a derivada parcial no ponto (0,0) é 0 (calculada no Passo 6). Logo \dfrac{\partial f}{\partial x} não é contínua em (0,0).
Para \dfrac{\partial f}{\partial y} uma verificação análoga ao longo de y=x também dá um limite diferente de 0 (de fato tende a \dfrac{1}{2\sqrt{2}} conforme cálculo paralelo), enquanto \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0. Logo \dfrac{\partial f}{\partial y} também não é contínua em (0,0).
Portanto as derivadas parciais de f não são contínuas em (0,0).
Resposta
(a) f é contínua em (0,0).
(b) Para \vec{w}=(a,b) com a^2+b^2=1 existe \dfrac{\partial f}{\partial \vec{w}}(0,0) e \dfrac{\partial f}{\partial \vec{w}}(0,0)=a\,|b|.
(c) f não é diferenciável em (0,0).
(d) As derivadas parciais de f não são contínuas em (0,0).