Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \[f(x, y)= \begin{cases}\frac{x|y|}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0), \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0) .\end{cases}
(a) Prove que f\] é contínua em \((0,0).
(b) Prove que para todo vetor unitário \vec{w} existe \frac{\partial f}{\partial \vec{w}}(0,0).
(c) f é diferenciável em (0,0) ?
(d) As derivadas parciais de f são contínuas em (0,0) ?

Passo 1

O enunciado dá a função
f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},\qquad f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x\,|y|}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0).\end{cases}
As perguntas são:
(a) Mostrar que f é contínua em (0,0).
(b) Mostrar que para todo vetor unitário \vec{w} existe a derivada direcional \dfrac{\partial f}{\partial \vec{w}}(0,0).
(c) Verificar se f é diferenciável em (0,0).
(d) Verificar se as derivadas parciais de f são contínuas em (0,0).
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a definição de f em pontos distintos de (0,0) envolve o módulo |y| e a norma \sqrt{x^2+y^2}; em (0,0) o valor é 0. A análise principal será em torno de (0,0).]

Passo 2

(a) Definição e estratégia para continuidade: para mostrar que f é contínua em (0,0) preciso provar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.
Vou estimar |f(x,y)| por uma expressão que tende a zero quando (x,y)\to(0,0).
Primeiro, use uma desigualdade simples entre produtos e somas de quadrados: para quaisquer reais x,y vale
2|x||y|\le x^2+y^2.
Essa desigualdade vem da identidade (|x|-|y|)^2\ge 0, ou do fato de que 2ab\le a^2+b^2 para a=|x|,b=|y|. Logo
|x||y|\le \frac{x^2+y^2}{2}.

Passo 3

Aplicando a desigualdade à expressão de f, para (x,y)\neq(0,0) temos
|f(x,y)|=\frac{|x||y|}{\sqrt{x^2+y^2}} \le \frac{1}{2}\cdot\frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2}.
Agora, quando (x,y)\to(0,0) a quantidade \sqrt{x^2+y^2}\to 0, logo pelo encadeamento:
|f(x,y)|\le \tfrac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2}\longrightarrow 0.
Portanto \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0, e isso prova que f é contínua em (0,0).

Passo 4

(b) Definição e cálculo da derivada direcional: seja \vec{w}=(a,b) um vetor unitário, isto é \,a^2+b^2=1. A derivada direcional de f em (0,0) na direção \vec{w} (no sentido duas vias) é o limite
\frac{\partial f}{\partial \vec{w}}(0,0)=\lim_{t\to 0}\frac{f(t a,t b)-f(0,0)}{t} =\lim_{t\to 0}\frac{f(ta,tb)}{t}.
Vamos calcular f(ta,tb) para t\neq 0. Note que |tb|=|t||b| e \sqrt{(ta)^2+(tb)^2}=|t|\sqrt{a^2+b^2}=|t| porque \vec{w} é unitário. Assim, para t\neq0,
f(ta,tb)=\frac{(ta)\,|tb|}{\sqrt{(ta)^2+(tb)^2}} =\frac{t a\cdot |t||b|}{|t|} = t a\,|b|.

Passo 5

Continuando o cálculo direcional,
\frac{f(ta,tb)}{t}=\frac{t a\,|b|}{t}=a\,|b|\quad\text{para }t\neq0.
Portanto o limite quando t\to0 existe e vale a\,|b|. Concluímos que para todo vetor unitário \vec{w}=(a,b) existe a derivada direcional em (0,0) e
\frac{\partial f}{\partial \vec{w}}(0,0)=a\,|b|.
Nota didática: a razão pela qual o módulo |t| some é que a raiz quadrada \sqrt{t^2(a^2+b^2)} produz |t|, e isso cancela com o |t| do numerador, sobrando um termo linear em t que, ao dividir por t, dá uma constante.

Passo 6

(c) Verificação de diferenciabilidade: se f fosse diferenciável em (0,0), então o diferencial linear Df(0,0) existiria e seria dado pelas derivadas parciais. Primeiro calculemos as derivadas parciais em (0,0) pelas definições univariadas.
A derivada parcial em x em (0,0) é
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}.
Para y=0 e h\neq0 temos f(h,0)=\dfrac{h\cdot|0|}{\sqrt{h^2+0}}=0. Logo o quociente é 0 e
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0.
Analogamente, para a derivada parcial em y:
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=0.
Assim o candidato a diferencial linear em (0,0) é a aplicação zero L(x,y)\equiv 0.

Passo 7

Critério de diferenciabilidade: f é diferenciável em (0,0) se e somente se
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-L(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0,
onde aqui L\equiv0. Ou seja precisamos verificar se
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0.
Mas para (x,y)\neq(0,0) temos
\frac{|f(x,y)|}{\sqrt{x^2+y^2}} =\frac{|x||y|}{x^2+y^2}.

Passo 8

Mostro que esse limite não é zero, escolhendo a trajetória y=x. Para x\neq0,
\frac{|x||y|}{x^2+y^2}\Bigg|_{y=x} =\frac{|x|\,|x|}{x^2+x^2} =\frac{x^2}{2x^2}=\frac{1}{2}.
Portanto ao aproximar (x,y)\to(0,0) pela reta y=x o quociente tende a \tfrac{1}{2}\neq 0. Isso impede que a condição de diferenciabilidade seja satisfeita. Conclusão: f NÃO é diferenciável em (0,0).

Passo 9

(d) Continuidade das derivadas parciais em (0,0): primeiro obtenha fórmulas explícitas para as derivadas parciais quando (x,y)\neq(0,0). Para y\neq0 podemos escrever |y|=\operatorname{sgn}(y)\,y e, calculando as derivadas (produto e derivada de r=\sqrt{x^2+y^2}), obtemos, para (x,y)\neq(0,0),
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{y^2|y|}{(x^2+y^2)^{3/2}}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\operatorname{sgn}(y)\,\frac{x^3}{(x^2+y^2)^{3/2}}.
(Se preferir, a primeira expressão pode ser também escrita como \dfrac{|y|\,y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}.)
Vou verificar o limite de \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) quando (x,y)\to(0,0). Considerando novamente a reta y=x com x\neq0,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,x) =\frac{x^2|x|}{(x^2+x^2)^{3/2}} =\frac{x^2|x|}{(2x^2)^{3/2}} =\frac{x^2|x|}{2^{3/2}|x|^3} =\frac{1}{2^{3/2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}.
Esse limite ao longo de y=x tende a \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\neq 0. Mas a derivada parcial no ponto (0,0) é 0 (calculada no Passo 6). Logo \dfrac{\partial f}{\partial x} não é contínua em (0,0).
Para \dfrac{\partial f}{\partial y} uma verificação análoga ao longo de y=x também dá um limite diferente de 0 (de fato tende a \dfrac{1}{2\sqrt{2}} conforme cálculo paralelo), enquanto \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0. Logo \dfrac{\partial f}{\partial y} também não é contínua em (0,0).
Portanto as derivadas parciais de f não são contínuas em (0,0).

Resposta

(a) f é contínua em (0,0).
(b) Para \vec{w}=(a,b) com a^2+b^2=1 existe \dfrac{\partial f}{\partial \vec{w}}(0,0) e \dfrac{\partial f}{\partial \vec{w}}(0,0)=a\,|b|.
(c) f não é diferenciável em (0,0).
(d) As derivadas parciais de f não são contínuas em (0,0).

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