Sejam X_{1} e X_{2} duas v.a.'s independentes e identicamente distribuídas (iid) com distribuição \operatorname{Exp}(1).
Calcule P\left(X_{1} \geq 2, X_{2} \geq 1\right).

Passo 1

O enunciado diz que X_{1} e X_{2} são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas segundo a lei \operatorname{Exp}(1). Queremos calcular
P\bigl(X_{1}\ge2,\;X_{2}\ge1\bigr).

Passo 2

Como X_{1} e X_{2} são independentes, vale
P\bigl(X_{1}\ge2,\;X_{2}\ge1\bigr) = P\bigl(X_{1}\ge2\bigr)\;P\bigl(X_{2}\ge1\bigr).

Passo 3

Para uma variável \operatorname{Exp}(1), a função sobrevivência é
P\bigl(X\ge t\bigr)=e^{-t}.
Logo
P\bigl(X_{1}\ge2\bigr)=e^{-2}, \quad P\bigl(X_{2}\ge1\bigr)=e^{-1}.

Passo 4

Multiplicando os dois fatores, obtemos
P\bigl(X_{1}\ge2,\;X_{2}\ge1\bigr) = e^{-2}\cdot e^{-1} = e^{-3}.

Resposta

e^{-3}

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